图像上的单侧极限

如果我们问自己 当x从左侧趋近于2 我们的函数值将接近什么？ 所以就如你可以想象的 当x趋近于2 所以当x=1 x=1.5 x=1.9 x=1.999 x=1.999999999 f(x)趋近于什么 我们看到f(x)看起来趋近 这个值 看起来它趋近于5 我们表示它的方式就是 （如视频所写） 我们要强调趋近的方向 当x从负数趋近于2 在2加一个上标 - 来表示我们趋近的方向 这不是-2 我们从负方向趋近于2 我们从比2小的值趋近于2 我们越来越接近2 但是是从1.9 1.99 1.99999开始接近 当x越来越接近这些值 f(x)趋近什么？ 在这里我们看到它趋近5 但是如果我们被问到 当x从右边接近于2 f(x)的极限是什么 所以要加一个+的上标 所以现在我们从正数的方向 趋近于2 x=3 x=2.5 x=2.1 x=2.01 x=2.0001 我们要越来越接近2 但是要从比2大得数接近2 所以在这里 当x=3 f(x)在这里 当x=2.5 f（x）在这里 当x=2.01 f(x)看起来在这里 所以在这种情况下 我们越来越接近f(x)=1 但是它从来都不等于1 它其实是个跳跃不连续点 这看起来就是 当x从比2大的数趋近于2时 我们得到的值 所以在这里 答案等于1 所以当我们讨论这个点的极限的时候 这个点从左右两边趋近的极限 必须是同一个值 极限才能存在 在这个例子里 它们并不相当 当x从比2小的数趋近于2 函数趋近于5 当我们从x比2大的数趋近于2 函数趋近于1 所以在这题里 当x趋近于2 f(x)的极限 从负数方向得到的极限 不等于从正数方向 得到的极限 它们并不相等 所以极限并不存在 所以在这题里 在x=2这点的极限 不存在 为了让极限存在 我们刚刚求的两个极限必须相等 比如 如果题目是 当x趋近于4的时候 f(x)的极限是多少 我们就该从解两边的极限算起 从负数方向得到的极限 从正数方向得到的极限 所以你可以这么做 当x从负数方向趋近于4 f(x)的极限 让我画一下 所以我们看到x=4 当x=4 当x=3 函数值为-2 f(3.5)在这里 f(3.9)看起来在这里 函数值越来越接近 -5 所以当x从负数趋近于4 极限 就会等于-5 如果我们问自己 当x从右边趋近于4 也就是从比4大的数趋近于4 f(x)的值是多少 f(5)在这里 f(4.5)在这里 f(4.1)看起来在这里 这是f(4.01) 即使f(4)有定义 但是当我们越来越接近它 我们看到 它再一次趋近了-5 就算f(4)没有定义 我们也会接近-5 所以这里也是趋近于-5 因为左边的极限 等于右边的极限 我们可以说 这两个是相等的 因为这两个极限相等 我们知道当x趋近于4 f(x)的极限 等于5 让我们再看几题 假设题目是 这是我们新的图像 当x趋近于8 从左侧 当x从比8小的值趋近于8 极限是什么 我希望你暂停一下来算一算 自己算 x越来越趋近8 如果x=7 函数值在这里 当x=7.5 函数值在这里 所以看起来我们的函数值 越来越接近3 所以看起来当x从负数方向趋近于3 极限=3 那如果我们从正数方向趋近呢 当我们从正数方向 从比8大的值趋近于8 极限是什么 在这里我们看到当x=9 函数值在这里 当x=8.5 函数值在这里 看起来函数值趋近于1 所以注意到 这两个极限并不一样 所以整体的极限 在x=8并不存在 所以让我们写一下 当x趋近于8 极限并不存在 因为两边的极限不同 所以不存在 让我们再做一题 在这里它问了个问题 这是函数的图像 当x从负数方向 趋近于2 极限是多少 所以这是-2 我们想知道当x趋近于2 会发生什么 我们看到函数在这里没有定义 但是当我们从负数方向 或者说从比-2 小的方向接近-2 或者说从左侧接近-2 会发生什么 当我们从左侧接近 f(-4) 在这里 所以这是f(-4) 这是f(-3) 这是f(2.5) 我们越来越接近 函数值=4 所以我们可以知道看起来 根据图像 当x从负数方向趋近于2 函数的极限=4 现在如果我们被问到 当x从正数方向趋近于-2 会得到一样的结果吗 现在 x=0 函数在这里 x=1 函数在这里 x=-1 函数在这里 当x=-1.9 函数在这里 再一次 我们看到我们越来越接近4 因为左右两边的极限 都一样 两边都趋近于同一个值 我们知道当x趋近于-2 从两个方向 因为我们都得到了同样的值 我们可以说x=-2时的极限存在 等于4