用表格来估计极限

极限是一个用来描述函数行为的工具，表格是一个用来帮助学习极限的工具。表格的一个好处是相比只看图，我们可以得到更多极限的估测。

当我们使用表格来估测极限时，要注意记得我们在“无限靠近”想要的$x$x值。

假设我们要解决这个极限：

注意：这个函数在$x=2$x, equals, 2时是未定义的，因为它的分母会为0，但是当$x$x靠近$2$2时的极限还是存在的。

步骤一：我们想选择一个比$x=2$x, equals, 2小一点的数（即是在 $x$x轴上$2$2左边的数），比如$x=1.9$x, equals, 1, point, 9。

步骤二：尝试用更多的$x$x值去感受从左边无限接近 $x=2$x, equals, 2。

注意我们的$x$x值$\{1.9, 1.99, 1.9999\}$left brace, 1, point, 9, comma, 1, point, 99, comma, 1, point, 9999, right brace在无限接近$x=2$x, equals, 2。更糟糕的$x$x值选择会是$\{-1,0,1\}$left brace, minus, 1, comma, 0, comma, 1, right brace，它不会帮我们思考接近$x=2$x, equals, 2时会发生什么。

步骤三：向我们从左边无限接近 $x=2$x, equals, 2从右边无限接近。我们要产生无限接近$x=2$x, equals, 2的感觉。

（注意：我们在表格内去掉来$x=2$x, equals, 2来节约空间，并且因为我们不需要推测在2时的极限）

观察我们写出的表格，我们很容易得到极限为$0.25$0, point, 25。但是，我们必须知道我们有的是一个合理的推测。我们不能说这是极限的值。

在创建你的表格时，请注意以下几个事项。

假设函数值是极限值。上面的例子即是一个函数是未定义，而极限还是存在的例子。避免直接把函数值当成极限值的错误。

没有无限接近。无限接近意味着我们在尝试接近想要的$x$x值，并且离想要的值很近——近到我们可以告诉自己这个估测很大可能是极限值。

没有从双方接近：请记住从想要的$x$x值的左边和右边来接近。请记住，如果极限存在，那从左边接近的极限值与从右边接近的极限值是相等的。请避免直接把从一边接近想要的$x$x值得出的值当作极限值。

假设”左边“代表”负数“：有一些学生会错误的觉得从左边接近时必须使用负数。在以上的例子里，当我们从左边靠近 $x=2$x, equals, 2时，我们只是用来比$2$2小一点的数字，比如$1.9$1, point, 9和$1.99$1, point, 99。请不要假设当从左边接近$x$x值时你必须使用负数。

混淆函数值与极限值：请记住函数在一个点的极限值不一定是函数在那个点时的值。例如，在问题2里，$g(5)=6.37$g, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 6, point, 37但是$\displaystyle\lim_{x\to 5}g(x)$limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis约等于$3.68$3, point, 68。

认为极限值始终是个整数：有一些极限数值“很好”，是整数或者小数。例如，第一个例子里的极限为$0.25$0, point, 25。有一些极限值“不好”，比如在问题2里的极限值在$3.68$3, point, 68左右。