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主要内容

用表格来估计极限

表格是一个可以用来估计极限的强大工具,但是它们需要被正确的使用。学习如何制作表格来正确的估计极限和在已知表格的情况下估计极限的值。
极限是一个用来描述函数行为的工具,表格是一个用来帮助学习极限的工具。表格的一个好处是相比只看图,我们可以得到更多极限的估测。
当我们使用表格来估测极限时,要注意记得我们在“无限靠近”想要的x值。

例题

假设我们要解决这个极限:
limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction
注意:这个函数在x, equals, 2时是未定义的,因为它的分母会为0,但是当x靠近2时的极限还是存在的。
步骤一:我们想选择一个比x, equals, 2小一点的数(即是在 x轴上2左边的数),比如x, equals, 1, point, 9
x1, point, 92
f, left parenthesis, x, right parenthesis0, point, 2564未定义
步骤二:尝试用更多的x值去感受从左边无限接近 x, equals, 2
x1, point, 91, point, 991, point, 99992
f, left parenthesis, x, right parenthesis0, point, 25640, point, 25060, point, 25001未定义
注意我们的xleft brace, 1, point, 9, comma, 1, point, 99, comma, 1, point, 9999, right brace在无限接近x, equals, 2。更糟糕的x值选择会是left brace, minus, 1, comma, 0, comma, 1, right brace,它不会帮我们思考接近x, equals, 2时会发生什么。
步骤三:向我们从左边无限接近 x, equals, 2从右边无限接近。我们要产生无限接近x, equals, 2的感觉。
x1, point, 91, point, 991, point, 99992, point, 00012, point, 012, point, 1
f, left parenthesis, x, right parenthesis0, point, 25640, point, 25060, point, 250010, point, 249990, point, 24940, point, 2439
(注意:我们在表格内去掉来x, equals, 2来节约空间,并且因为我们不需要推测在2时的极限)
观察我们写出的表格,我们很容易得到极限为0, point, 25。但是,我们必须知道我们有的是一个合理的推测。我们不能说这是极限的值。
问题1
我们给了三个学生函数f并让他们解出limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis。每个学生写出的表格如下。
每个表格都是准确的,但是哪一个是最好的极限的估测?
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创建表格估测极限时的常见错误

在创建你的表格时,请注意以下几个事项。
假设函数值是极限值。上面的例子即是一个函数是未定义,而极限还是存在的例子。避免直接把函数值当成极限值的错误。
没有无限接近。无限接近意味着我们在尝试接近想要的x值,并且离想要的值很近——近到我们可以告诉自己这个估测很大可能是极限值。
避免选择x在固定增加的值,比如left brace, minus, 1, comma, 0, comma, 1, right brace 甚至 left brace, 1, point, 91, comma, 1, point, 92, comma, 1, point, 93, right brace。因为这些值并没有让我们无限接近,它们只让我们接近了一点。想要无限接近,我们必须减少我们的增加值,用x值比如left brace, 1, point, 9, comma, 1, point, 99, comma, 1, point, 999, right brace,所以我们在减少我们与想要的值直接的距离。
没有从双方接近:请记住从想要的x值的左边和右边来接近。请记住,如果极限存在,那从左边接近的极限值与从右边接近的极限值是相等的。请避免直接把从一边接近想要的x值得出的值当作极限值。
假设”左边“代表”负数“:有一些学生会错误的觉得从左边接近时必须使用负数。在以上的例子里,当我们从左边靠近 x, equals, 2时,我们只是用来比2小一点的数字,比如1, point, 91, point, 99请不要假设当从左边接近x值时你必须使用负数。
问题2
函数g在实数内是有定义的。下表给予了g的一些值。
xg, left parenthesis, x, right parenthesis
43, point, 37
4, point, 93, point, 5
4, point, 993, point, 66
4, point, 9993, point, 68
56, point, 37
5, point, 0013, point, 68
5, point, 013, point, 7
5, point, 13, point, 84
63, point, 97
limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis的合理估计值是什么?
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从表格估测极限值时的常见错误

混淆函数值与极限值:请记住函数在一个点的极限值不一定是函数在那个点时的值。例如,在问题2里,g, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 6, point, 37但是limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis约等于3, point, 68
认为极限值始终是个整数:有一些极限数值“很好”,是整数或者小数。例如,第一个例子里的极限为0, point, 25。有一些极限值“不好”,比如在问题2里的极限值在3, point, 68左右。

总结问题

问题3
一个学生创建了一个表格来帮助他思考 limit, start subscript, x, \to, 7, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis
x66, point, 996, point, 999977, point, 00017, point, 018
g, left parenthesis, x, right parenthesisminus, 3, point, 41minus, 1, point, 94minus, 1, point, 9252未定义minus, 1, point, 9248minus, 1, point, 910, point, 46
从表格中,你可以得出什么关于极限值的结论?
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问题 4
下面的表格给予了函数f的几个值。这个函数在除了x, equals, 5时都增大,并且limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis 存在。
x2345678
f, left parenthesis, x, right parenthesis3, point, 74, point, 34, point, 94, point, 85, point, 66, point, 26, point, 9
以下哪个值是limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis的合理推测值?
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