表格上的单侧极限

【老师】函数 f 是在 实数范围内定义的 这里的表格给出了 几个关于函数 f 的值 表格中也给出了 x 值对应的 f(x) 值 那么现在我们要 估计当从左侧使 x 趋于 1 时，函数 f(x) 的极值是什么？ 现在暂停视频 然后看一看你能不能自己解题 好的，那让我们现在一起来看 首先我们仔细审题就会发现一个关键的事情 当你看到x趋于1时 你应该也注意到了其-1的角标 这个角标并不是说x趋于-1 这个角标并不是说x趋于-1 -- 有些时候你的大脑看到这个1 然后看到这个负号角标 你可能会觉得 哦这真是一个记录-1的奇怪方式 或者你的大脑直接回忽略掉这个信息 但这样是不对的 这个角标的作用其实是在说 让我在这里用箭头做个标记 这是当 x 从左边 趋于1时 函数f(x)的极值 我们怎么知道是从左边趋近的呢？ 就是这个负号角标告诉了我们 它告诉我们 我们从一个小于1的数值趋于1 如果我们是从右侧趋近 也就是大于1的数值的话 那么这里的角标就会被写成1+ 好现在，让我们来试着解题 我们需要得到x从左侧趋于1的极值 而刚好在这个表格中 题目已经告诉了我们一些x从左侧趋于1的值 0.9，非常接近于1了 之后我们甚至又离1近了一步 可以看到这些数字都小于1 但是它们都在不断趋于1 所以我们需要观察的就是 当x从左侧无限趋于1时 当x从左侧无限趋于1时 函数 f(x) 将会趋于什么 在这里，我们要明白一点 如果我们要找到总的极值 那么我们就不能仅考虑一个方向 相反我们还应当考虑 从左边、从右边两边共同得到的极值 但这道题只问了我们从左边趋近 所以我们只需要考虑到 这里的这些数值就好 事实上，我们甚至不应该让f(x) = 1 这个数值来混淆我们 在大多数时候，在相同起始点 极值趋于的数值与函数图像趋于的数值是不同的 极值趋于的数值与函数图像趋于的数值是不同的 那让我们来看这个 于x = 0.9，f(x) = 2.5 那当我们从左边更趋于1时 f(x)将会移至2.1 当我们再从左边更趋于1时 我们将更趋于2 所以对于x从左侧趋于1的极值的合理估计 所以对于x从左侧趋于1的极值的合理估计 看起来这里的f(x) 在无限趋于2 但我们并不能准确的知道一个数值 这也是为什么我们在求一个估计值 它可能趋于2.01 也可能趋于1.999 可汗学院通常会通过选择题来 问这种问题 因此你只需要选择最合理的答案就好 如果选项中既给出了1.999又给出了2.01 那这道问题是不合理的 但如果我们说 嗨，这个看起来在趋于一个整数 那么这种情况下2可能就是一个合理的估计 尽管它并不需要必须为2 它可以是2.01258 也可能是它实际上在趋于的数值 那让我们再试试另外一道题 这道题中包含了合理的 当x从左侧趋近时的极值估计 现在题目说 函数 f 是在实数范围内定义的 这里的表格给出了几个关于函数 f 的值 跟上一道题差不多 估计当从左侧使 x 趋于-2时， 函数f(x)的极值是什么？ 这就非常令人迷惑了 我们可以看到这里有两个负号 第一个负号告诉我们 X是在趋于-2 题目想问的是，当X趋于-2时会发生什么 并且我们同样是从左边趋近 而刚好在这个表格中我们已知了几个 x在从左边趋于-2中的值 所以这里是x从左边趋于-2 其正是这一行数值在代表的事情 其正是这一行数值代表的意思 可以看到这里是-2.05 然后更趋近时-2.01 再来是-2.002 这些都是左边的数值 因为这些数值都小于-2 但他们都在不断无限趋于-2 那现在让我们来看看 在最远处我们有f(x)等于-20 更趋近一点我们有f(x)等于-100 再来我们有f(x)等于-500 我们可以估计但并不能准确的知道 因为这些只是这个函数的几个例点而已 因为这些只是这个函数的几个例点而已 但如果我们遵循这一趋势 我们就可以不到达-2 但离-2越来越近 看起来这一行数值越来越不受控制 它们像是在靠近负无限 所以按理说 我会在这里写无限的（unbounded） 所以如果这道题是和选择题的话 你需要回答 x从左侧趋于-2的极值 不存在 如果有人问了你另外一个问题 他们问 x从右侧趋于-2的 极值是什么 那你就会回答 这些是x从右边 趋于-2的数值 所以这些都是 X从右边趋于-2中的数值 哦对了我们要记得 当在寻找极值时 那个真正的数值会经常把我们弄糊涂 我们真正要注意的是 当x在无限趋近时 相关函数在无限趋于的那个数值 在这道题中 x在从右侧趋于-2 所以我们在从大于-2的数值中 无限趋近-2 现在看起来函数f(x) 在无限趋于-4 也就是f(-2)的时候 这也看起来像是一个合理的估计 和之前同样，我们仅通过这些函数的例点 并不能准确知道一个数值 但我们可以得到一个合理的估计值 通常来说，如果是在趋于不同的数值 而左边趋近的数值与从右边趋近的数值不同 那么你就会说，对于那个数值 函数的极值不存在 我们在其他视频中也讲到了这一点