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主要内容

极限入门

极限描述一个函数在 接近 某一点时的行为,而不是 在 那个点的行为。这个简单又实用的思想是所有微积分的基础。
要想理解什么是极限,让我们看一个例子. 我们从函数f(x)=x+2开始.
f函数如图所示,x轴刻度由0至9。函数图像为一条直线,经过(0,2),(2,4),(4, 6),并停留至 (7,9)。web+graphie://cdn.kastatic.org/ka-perseus-graphie/507e8f38d9db338d657f07b535ba2ed4a8a9d206
f 趋近于 x=3 的极限就是 f 越来越接近 x=3 的值. 从图像上来看,当我们看着 f 的图像越来越接近 x=3 上的点时,这就是我们所靠近的 y 值.
例如,如果我们从点 (1,3) 开始,渐渐沿着图像向上移动,直到我们到了十分接近 x=3 的位置,那么我们的 y 值(即为函数的值)也十分接近于 5.
函数f的图形具有动画效果。 点从 (1, 3) 到 (2.99, 4.99) 在线上向上移动。
图像由 Geogebra 创建。
同样的,如果我们从点 (5,7) 开始,向左侧移动知道我们到了十分接近 x=3 的位置,那么我们的 y值再次会十分接近于 5.
函数f的图像如图所示,点在直线上从 (5, 7) 向上活动至 (3.01, 5.01) 。
图像由 Geogebra 创建。
出于这些原因,我们可以说 f 趋近于 x=3 的极限为 5.
函数f的图像是一条直线,有两支箭头沿着直线,分别从左下和右上方指向 (3, 5)。
你也可能会问你自己 f 趋近于 x=3 的极限与 fx=3 上的,如f(3),有什么不同?
那么是的,f(x)=x+2 趋近于 x=3 的极限与 f(3) 相等,但是并不总是如此. 想要理解这个,让我们看看函数 g. 该函数与 f 完全一致,除了在 x=3 时不成立以外.
f函数如图所示,x轴刻度由0至9。函数图像为一条直线,经过(0,2)和(2,4)。空心圆所在位置为(3,5)。该线在图中最终停留在(7, 9)。
f一样,当x=3g的极限为 5。这是因为我们可以非常非常接近 x=3,此时函数的值也将非常非常接近 5
函数f的图像是一条直线,有两支箭头沿着直线,分别从左下和右上方指向空心圆 (3, 5)。
因此 g 趋近于 x=3 的极限等于 5,但是 gx=3 时是不成立的!他们是不同的!
这就是极限之美:它们不依赖于函数在极限上的实际值. 它们描述函数在接近极限时的行为.
问题1
这是h的图像
那么 h 趋近于 x=3 的极限值的合理估算是什么呢?
选出正确答案:

我们还有一个特殊符号来讨论极限. 这就是我们如何来书写 当 x 趋近于 3f 的极限;
 "的极限""函数 f"limx3f(x)"当 x 趋近于 3."
符号 lim 意味着我们取某函数的极限值.
lim 右侧的表达式为我们所取极限值的表达式. 在本题中,就是函数 f .
表达式 x3lim 下方,意味着我们取 fx 值趋近于 3 的极限值.
问题2
这是f的图像
limx6f(x)的一个合理的估算是多少 ?
选出正确答案:

问题3
哪个表达式代表了当 x 趋近于 5 时的 x2 的极限值?
选出正确答案:

在极限值中,我们想要得到无限的接近.

我们说“无限地接近“是什么意思?让我们看看当 x 值趋近于 3 时,f(x)=x+2 的值.(记住:因为我们在解决极限的问题,所以我们不关心 f(3) 本身.)
xf(x)
2.94.9
2.994.99
2.999趋近于 34.999趋近于 5
我们可以看到当 x 的值小于 3,但变得越来越接近它时,f 的值是如何变得越来越接近于 5 的.
xf(x)
3.15.1
3.015.01
3.001趋近于 35.001趋近于 5
我们可以看到当 x 的值大于 3,但变得越来越接近它时,f 的值是如何变得越来越接近于 5 的.
请注意,我们最接近于 5 的时候是 f(2.999)=4.999f(3.001)=5.001,它们都距离 50.001 个单位.
如果我们想的话,我们可以比以上更接近. 例如,假设我们想要距离 5 0.00001 个单位,那么我们会选 x=3.00001,那么 f(3.00001)=5.00001.
这没有尽头. 我们总能更接近 5. 但是那就是”无限地接近“的意思!既然”无限地接近“在现实中不存在,那么我们 limx3f(x)=5 就意味着不管我们想要怎么近地靠近 5,总有一个非常接近于 3x 的值会把我们带到那儿.
如果你觉得这个很难理解,可能这个会有帮助:我们怎么会知道有无限不同的整数?这不像我们把他们都计算过了,且算到了它们是无限的. 我们知道它们是无限的,因为对于任何一个整数,总有另一个整数比它大. 总有另一个,另一个.
在极限中,我们不想要无限的大,但是要无限地接近. 当我们说 limx3f(x)=5,我们的意思是我们总是能更接近 5.
问题 4
xg(x)
7.16.32
7.016.1
7.0016.03
6.9996.03
6.996.1
6.96.32
limx7g(x)的合理估计值是什么?
选出正确答案:

另一个例子: limx2x2

我们分析一下limx2x2, 这是当x 趋近 2时表达式x2 的极限 .
函数y=x²如图所示。x轴所显示区间为-4到6。该函数图像为一条曲线,且该曲线是一条抛物线,从(-3,9)下行至(-1,1)和(0,0)后,上行经过(1,1)和(3,9)。
我们可以看到, 当我们接近图表上 x=2 的点时, y值越来越接近 4.
函数y=x²的图像如图所示,动点在线上从(1.5, 2.25)移动至(1.99, 3.96) 后,下行经过(2.5, 6.25) 和(2.01, 4.04)。
图像由 Geogebra 创建。
我们还可以查看数值表:
xx2
1.93.61
1.993.9601
1.999趋近于 23.996001趋近于 4
xx2
2.14.41
2.014.0401
2.001趋近于 24.004001趋近于 4
我们也可以看到我们如何像我们想的那样趋近于 4. 假设我们想要距离 4 小于 0.001 个单位. 我们可以选哪个趋近于 x=2x 的值呢?
让我们试一下 x=2.001:
2.0012=4.004001
那就比距离 40.001 个单位. 那么,让我们试一下 x=2.0001
2.00012=4.00040001
这个够接近!通过尝试越来越趋近于 x=2x 的值,我们可以越来越趋近于 4.
综上,limx2x2=4.

两边的极限必为相同.

回到 f(x)=x+2limx3f(x),我们可以看到,不论 x 的值是增大着趋近于 3(这被叫做“从左边靠近”)还是减小着趋近于 3(这被叫做“从右边靠近”),均能趋近于 5.
函数f如图所示,x轴刻度由0至9。该函数图像为一条直线,经过(0, 2), (2,4)和(4, 6)。两支箭头沿着该直线分别从左下和右上方指向(3, 5)。
现在以函数 h 为例. 当 x 的值接近于 x=3 时,我们所趋近于的 y 的值取决于我们从左边开始或从右边开始.
函数如图所示,x轴的刻度为0至9。该函数图像含有两条直线。第一条经过(0, 1)后上行至空心点位置(3, 4)。第二条直线经过实心点(3, 6)后下行至(6, 9)。
当我们从左边靠近 x=3 时,函数趋近于 4. 当我们从右边靠近 x=3 时,函数趋近于 6.
函数图像如图所示,第一个箭头沿着第一条直线从左下方指向空心点(3, 4),第二个箭头沿着第二条直线从右上方指向实心点(3, 6)。
当从两边靠近达到的极限值不同时,我们说极限值不存在.
问题5
这是函数 g 的图像.
哪个极限值存在?
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