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主要内容

微分学

课程: 微分学 > 单元 1

课程 1: 极限入门
数学
微分学
极限和连续性
极限入门
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极限入门

Google课堂
极限描述一个函数在 接近 某一点时的行为，而不是 在 那个点的行为。这个简单又实用的思想是所有微积分的基础。
要想理解什么是极限，让我们看一个例子. 我们从函数f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2开始.
f函数如图所示，x轴刻度由0至9。函数图像为一条直线，经过(0,2)，(2,4)，(4, 6)，并停留至 (7,9)。web+graphie://cdn.kastatic.org/ka-perseus-graphie/507e8f38d9db338d657f07b535ba2ed4a8a9d206
f 趋近于 x, equals, 3 的极限就是 f 越来越接近 x, equals, 3 的值. 从图像上来看，当我们看着 f 的图像越来越接近 x, equals, 3 上的点时，这就是我们所靠近的 y 值.
例如，如果我们从点 left parenthesis, 1, comma, 3, right parenthesis 开始，渐渐沿着图像向上移动，直到我们到了十分接近 x, equals, 3 的位置，那么我们的 y 值（即为函数的值）也十分接近于 5.
函数f的图形具有动画效果。 点从 (1, 3) 到 (2.99, 4.99) 在线上向上移动。
图像由 Geogebra 创建。
同样的，如果我们从点 left parenthesis, 5, comma, 7, right parenthesis 开始，向左侧移动知道我们到了十分接近 x, equals, 3 的位置，那么我们的 y值再次会十分接近于 5.
函数f的图像如图所示，点在直线上从 (5, 7) 向上活动至 (3.01, 5.01) 。
图像由 Geogebra 创建。
出于这些原因，我们可以说 f 趋近于 x, equals, 3 的极限为 5.
函数f的图像是一条直线，有两支箭头沿着直线，分别从左下和右上方指向 (3, 5)。
你也可能会问你自己 f 趋近于 x, equals, 3 的极限与 f 在 x, equals, 3 上的值，如f, left parenthesis, 3, right parenthesis，有什么不同？
那么是的，f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 趋近于 x, equals, 3 的极限与 f, left parenthesis, 3, right parenthesis 相等，但是并不总是如此. 想要理解这个，让我们看看函数 g. 该函数与 f 完全一致，除了在 x, equals, 3 时不成立以外.
f函数如图所示，x轴刻度由0至9。函数图像为一条直线，经过(0,2)和(2,4)。空心圆所在位置为(3,5)。该线在图中最终停留在(7, 9)。
和f一样，当x, equals, 3时g的极限为 5。这是因为我们可以非常非常接近 x, equals, 3，此时函数的值也将非常非常接近 5。
函数f的图像是一条直线，有两支箭头沿着直线，分别从左下和右上方指向空心圆 (3, 5)。
因此 g 趋近于 x, equals, 3 的极限等于 5，但是 g 在 x, equals, 3 时是不成立的！他们是不同的！
这就是极限之美：它们不依赖于函数在极限上的实际值. 它们描述函数在接近极限时的行为.
问题1
这是h的图像
那么 h 趋近于 x, equals, 3 的极限值的合理估算是什么呢？
选出正确答案：

我们还有一个特殊符号来讨论极限. 这就是我们如何来书写 当 x 趋近于 3时f 的极限；
 "...的极限""...函数 f..."↘↙lim⁡x→3f(x)↗"...当 x 趋近于 3."\begin{aligned} \scriptsize\text{ "...的极限"}&\qquad\scriptsize\text{"...函数 }f\text{..."} \\ \searrow\qquad&\qquad\swarrow \\ \LARGE\displaystyle\lim_{x\to 3}&\LARGE f(x) \\ \nearrow\qquad \\ \scriptsize\text{"...当 }x\text{ 趋近于 }3\text{."} \end{aligned}
符号 limit 意味着我们取某函数的极限值.
limit 右侧的表达式为我们所取极限值的表达式. 在本题中，就是函数 f .
表达式 x, \to, 3 在 limit 下方，意味着我们取 f 的 x 值趋近于 3 的极限值.
问题2
这是f的图像
对limit, start subscript, x, \to, 6, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis的一个合理的估算是多少 ?
选出正确答案：

问题3
哪个表达式代表了当 x 趋近于 5 时的 x, squared 的极限值？
选出正确答案：

在极限值中，我们想要得到无限的接近.

我们说“无限地接近“是什么意思？让我们看看当 x 值趋近于 3 时，f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 的值.（记住：因为我们在解决极限的问题，所以我们不关心 f, left parenthesis, 3, right parenthesis 本身.）
xf, left parenthesis, x, right parenthesis
2, point, 94, point, 9
2, point, 994, point, 99
start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 趋, 近, 于, space, end text, 3, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 趋, 近, 于, space, end text, 5, end subscript, end color gray
我们可以看到当 x 的值小于 3，但变得越来越接近它时，f 的值是如何变得越来越接近于 5 的.
xf, left parenthesis, x, right parenthesis
3, point, 15, point, 1
3, point, 015, point, 01
start color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 趋, 近, 于, space, end text, 3, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 5, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 趋, 近, 于, space, end text, 5, end subscript, end color gray
我们可以看到当 x 的值大于 3，但变得越来越接近它时，f 的值是如何变得越来越接近于 5 的.
请注意，我们最接近于 5 的时候是 f, left parenthesis, 2, point, 999, right parenthesis, equals, 4, point, 999 和 f, left parenthesis, 3, point, 001, right parenthesis, equals, 5, point, 001，它们都距离 5 有 0, point, 001 个单位.
如果我们想的话，我们可以比以上更接近. 例如，假设我们想要距离 5 0, point, 00001 个单位，那么我们会选 x, equals, 3, point, 00001，那么 f, left parenthesis, 3, point, 00001, right parenthesis, equals, 5, point, 00001.
这没有尽头. 我们总能更接近 5. 但是那就是”无限地接近“的意思！既然”无限地接近“在现实中不存在，那么我们 limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5 就意味着不管我们想要怎么近地靠近 5，总有一个非常接近于 3 的 x 的值会把我们带到那儿.
如果你觉得这个很难理解，可能这个会有帮助：我们怎么会知道有无限不同的整数？这不像我们把他们都计算过了，且算到了它们是无限的. 我们知道它们是无限的，因为对于任何一个整数，总有另一个整数比它大. 总有另一个，另一个.
在极限中，我们不想要无限的大，但是要无限地接近. 当我们说 limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5，我们的意思是我们总是能更接近 5.
问题 4
xg, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 7, point, 16, point, 32
minus, 7, point, 016, point, 1
minus, 7, point, 0016, point, 03
minus, 6, point, 9996, point, 03
minus, 6, point, 996, point, 1
minus, 6, point, 96, point, 32
limit, start subscript, x, \to, minus, 7, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis的合理估计值是什么？
选出正确答案：

另一个例子: limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared

我们分析一下limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, 这是当x 趋近 2时表达式x, squared 的极限 .
函数y=x²如图所示。x轴所显示区间为-4到6。该函数图像为一条曲线，且该曲线是一条抛物线，从(-3,9)下行至(-1,1)和(0,0)后，上行经过(1,1)和(3,9)。
我们可以看到, 当我们接近图表上 x, equals, 2 的点时, y值越来越接近 4.
函数y=x²的图像如图所示，动点在线上从(1.5, 2.25)移动至(1.99, 3.96) 后，下行经过(2.5, 6.25) 和(2.01, 4.04)。
图像由 Geogebra 创建。
我们还可以查看数值表:
xx, squared
1, point, 93, point, 61
1, point, 993, point, 9601
start color gray, start underbrace, start color black, 1, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 趋, 近, 于, space, end text, 2, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 996001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 趋, 近, 于, space, end text, 4, end subscript, end color gray
xx, squared
2, point, 14, point, 41
2, point, 014, point, 0401
start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 趋, 近, 于, space, end text, 2, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 004001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 趋, 近, 于, space, end text, 4, end subscript, end color gray
我们也可以看到我们如何像我们想的那样趋近于 4. 假设我们想要距离 4 小于 0, point, 001 个单位. 我们可以选哪个趋近于 x, equals, 2 的 x 的值呢？
让我们试一下 x, equals, 2, point, 001:
2, point, 001, squared, equals, 4, point, 004001
那就比距离 4 多 0, point, 001 个单位. 那么，让我们试一下 x, equals, 2, point, 0001：
2, point, 0001, squared, equals, 4, point, 00040001
这个够接近！通过尝试越来越趋近于 x, equals, 2 的 x 的值，我们可以越来越趋近于 4.
综上，limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, equals, 4.

两边的极限必为相同.

回到 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2 和 limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis，我们可以看到，不论 x 的值是增大着趋近于 3（这被叫做“从左边靠近”）还是减小着趋近于 3（这被叫做“从右边靠近”），均能趋近于 5.
函数f如图所示，x轴刻度由0至9。该函数图像为一条直线，经过(0, 2)， (2,4)和(4, 6)。两支箭头沿着该直线分别从左下和右上方指向(3, 5)。
现在以函数 h 为例. 当 x 的值接近于 x, equals, 3 时，我们所趋近于的 y 的值取决于我们从左边开始或从右边开始.
函数如图所示，x轴的刻度为0至9。该函数图像含有两条直线。第一条经过(0, 1)后上行至空心点位置(3, 4)。第二条直线经过实心点(3, 6)后下行至(6, 9)。
当我们从左边靠近 x, equals, 3 时，函数趋近于 4. 当我们从右边靠近 x, equals, 3 时，函数趋近于 6.
函数图像如图所示，第一个箭头沿着第一条直线从左下方指向空心点(3, 4)，第二个箭头沿着第二条直线从右上方指向实心点(3, 6)。
当从两边靠近达到的极限值不同时，我们说极限值不存在.
问题5
这是函数 g 的图像.
哪个极限值存在？
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