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例题:函数在一点具有连续性

小明找出分段函数的两个表达式分界点的极限。在这个情况下,两个单侧极限相等,所以极限存在。

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这里我们有g(x)在 0小于x小于3的时候定义为log(3x) 当x大于等于3的时候 是4减x乘log(9) 所以根据g(x)的定义 我们想求当x接近3的时候 g(x)的极限 这个3是位于 这两个情况中间 我们先看看第一个情况当x在0和3之间时 当它比0大但是小于3的时候 然后等于3的时候,就到第二个情况了 我们需要求左边和右边的极限 来求极限 所以我们先要看这个情况 因为当我们小于3的时候,就在这个条件里 然后我们还要求右边的极限 那就会在这个情况里 然后假如两边的极限都存在 并且相等,那这就是 这个的极限,那我们一起来做 让我先从左边开始 当x从比3小的值接近3时 我们从g(x)的左边接近 也就是说 当x从负的这边接近3的 时候的极限 当x小于3的时候 我们是从左边接近3 我们在这个情况里 所以我们用这个式子进行运算 在小于3的时候g(x)等于 log3x 然后因为这个函数在我们 关心的区间内是有定义且连续的 它对于x大于0是有定义且连续的 我们可以直接在这里代入3 看看这是接近多少 这等于log的3乘3 或者说9的对数 log没有底的时候 就表示这是以10为底 所以是以10为底的对数 这点需要讲一下 有时候会没注意到 好,让我们再看看另一个情况 我们看看从右边 接近3的情况 从大于3的值接近的情况 那我们会在这个情况里 所以这等于当 x从右边接近3 x从右边接近3 大于3的时候,g(x) 是这个表达式 所以4减x乘log9 这一看上去是个对数表达式 但你会发现log9 就是个常数,以10为底9的对数 是一个接近1的数字 这个表达式其实是一条直线 当x大于等于3的时候,g(x) 就是一条直线,尽管看着有点复杂 所以这对于所有实数都有定义 并且连续 所以这个的极限 当我们从右边接近3的时候 这个表达式的极限 我们可以直接求在3的值 这等于4减3 乘log9,这部分就是1 所以这等于以10为底,9的对数 左边的极限等于右边的极限 都等于log9,所以答案是 log9 解答完毕