分段函数：极限不存在

-我们有函数f(x) 它是一个分段函数 它在几个区间内 对x有定义 或者说，对于x大于0 并且小于等于2， f(x)是x的自然对数 对于任何的x大于2， f(x)等于x的平方 乘以x的自然对数 我们要做到是 我们要求当x趋近于2 f(x)的极限 现在，关于2这个值，有趣的是， 它是这两个区间 它们的边界 如果我们要在2处计算它 我们会先在第一个区间计算 f(2)，2是小于等于2 它大于0, 所以，很直接地， f(2)就等于2的自然对数 但是它不一定就是极限 为了算出极限是多少， 我们要考虑 当从左边趋近的时候，极限是多少 从右边趋近的时候，极限是多少 它们是否存在，存在的话 它们是否是相等的 如果它们是相等的，那么， 我们就有一个定义明确的极限 我们来做一下 首先考虑极限 当x从左边，从小于2处趋近2的时候， f(x)的极限 这种情况下， 我们应该在这里这个区间 来进行计算 我们从小于2的值进行计算 我们从左边 来趋近于2 我们适用这个函数 所以，因为这个函数 在这个我们进行计算的 区间里连续 或者说，对于所有大于0， 并且小于等于2的值， 它的极限等于 这个表达式在2处的值 因为它在这个区间内连续 它就等于是2的自然对数 好，现在我们考虑一下从右边趋近 从大于2处趋近2时 它的极限值 所以f(x)的极限 当x从右边趋近2 即使是2适用于这个表达式 当值一旦大于2 我们要使用这个表达式 我们趋近2的时候， 要用这个表达式 再次，这个函数表达式 对于所有的大于2的 x值，它是连续的 实际上，你知道，大于或者等于2 所以，对于这里这个， 我们可以同样推理 它的极限是这个函数表达式在2处的值 因为，再次， 如果我们计算函数在2处的值，它落到这个表达式上 但是如果我们从右边趋近 如果我们从右边趋近， x的值是大于2的 所以，适用这个表达式 所以，我们要计算这个表达式在2处的值 因为它是连续的 所以这个是2的平方 乘以2的自然对数 它等于4， 乘以2的自然对数 4乘以2的自然对数 所以，右侧处的极限是存在的 左侧的极限也存在 但是，你会看到的是 这两个是不同的值 我们从左边趋近和从右边趋近的时候 获得的是不同的值 如果我画出来的话 我们会看到图形桑有一个跳跃的点 我们会看到这里不连续 所以，特别地对这个点来说， 你有一个跳跃的不连续点 极限是不存在的 因为左边的极限和右边的极限 是两个不同的值 所以它不存在