消除不连续性 (有理化)

将 f 定义为函数, f(x)等于根号x加4减3除以x减5, 如果x不等于5, f(x)等于c, 如果x等于5, 就是说, 函数在x=5时是连续的话, c等于多少? 如果函数f在x等于5时是连续的, 这就代表在函数图像上, 当x接近5时接近的极限, 就等于函数图像上X等于5对应的Y值, 这是连续函数的定义, 题目告诉我们, 当x等于5时, f(5)等于c, 所以这一定等于c, 所以我们只要求出, x接近5的时候, 函数接近的极限是多少就可以了。 如果我们直接把5代入函数表达式, 分子的结果是, 根号下5加4等于9, 根号9等于正3, 3减3等于0, 所以分子为0, 分母是5减5, 结果也是0, 这样的话函数就成了0/0, 无解。 之后我们会学到一种方法, 让我们可以在无解的情况下找到极限, 这种方法被称作洛必达法则。 但是我们还可以用代数方法解决这个问题, 要这么做, 先要把分子中的根号去掉, 先写下这个表达式, 根号下x减4, 减3除以x减5, 当你看到一个根号加或减其他项的时候, 要去掉它, 你可以用... 假如你看到一个根号减3, 就用根号加3和它相乘, 所以在这个问题中, 用根号下x加4加3, 乘以分子和分母, 很明显我们必须同时乘分子和分母, 相当于将表达式乘1, 这样我们才不会改变这个表达式, 如果分母中是加3, 就用减3相乘, 这种方法我们在以前的课中学过, 用来有理化分母或分子, 这种方法也和我们用来, 用乘法来去掉复杂的数的方法很相似, 这些数字一般是分母中的。 如果你做了计算的话, 你会发现这是一个很熟悉的公式, 我们以前也学过, 这是平方差公式, a减b乘a加b, 第一项就是a的平方, 根号下x加4的平方是x加4, 第二项是b的平方, 第一项要减去第二项, 也就是减去3的平方, 9, 在分母中, 用x减5乘根号下x加4加3, 化简后得, 虽然看起来一点也不简单, 至少我们已经去掉了根号, 我们现在只不过是在试着, 找到方法代入x=5, 然后找到极限, 化简分子得到, x加4减9, 结果是x减5除以分母, 现在你发现, 分子和分母有一个公因数x－5, 我们可以得到一个和开始的完全相同的表达式, 如果将分子和分母同时, 除以x－5, 并且假设x不等于5, 结果就是, 1除以根号下x加4加3, 当x不等于5时, 这样表达完全没有问题, 因为题目中已经表明x不等于5, 所以我们可以用这个表达式, 来替代原来的。 现在如果我们想知道x接近5是函数接近的极限, x在不断接近5, 但是不等于5, 我们可以使用这个表达式, 所以当x不断接近5, f(x)接近的极限就等于, 1除以根号下x加4加3接近的极限, 现在我们可以将5代入, 就等于1除以根号下5加4, 5加4等于9, 根号9等于3, 3加3等于6, c最终等于1/6, 当x接近5的时候, 函数接近的极限是1/6, 如果函数在x等于5时是连续的, c等于1/6。