If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

当x接近0时,(1-cos(x))/x的极限

显示了当x接近0时,(1-cos(x))/x的极限等于0。这对证明sin(x)的导数很有帮助。

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.

视频字幕

这节课我们要做的是求出 当x趋于0时 (1 - cosx) / x的极限是多少 假设我们提前知道一件事 假设我们知道当x趋于0时 sinx / x的极限 等于1 现在,我不会在这个视频中重新证明它 但是我们有一个完整的视频 来证明这个著名的极限 我们用挤压定理,或者三明治定理 我们看看能不能算出来 我们要做的第一件事 是对这个表达式进行代数运算 我要做的是 分子分母 同时乘以(1 + cosx) 所以,乘以 分母也是一样 1 + cosx 我没有改变表达式的值 这只是乘以1 这对我们有什么用? 我可以把整个式子改写成 当x趋于0时 (1 - cosx) * (1 + cosx) 那将会是 换一种颜色 它是1的平方,也就是1 减去cosx的平方 cosx的平方,平方之差 然后分母是这些 就是x (1 + cosx) 1 - cosx的平方等于多少? 这是由勾股定理推导出来的 三角恒等式 它等于sin x的平方 sin x的平方 我可以把这些重写成 当x趋于0时 让我把它改写 而不是sinx的平方 它等于sinx乘以sinx 我这样写 sinx乘以sinx 我取第一个sin x 我选这个 把它除以这个x 所以是sinx / x 乘以第二个sinx,这个 除以(1 + cosx) 乘以sinx / (1 + cosx) 我所做的只是利用了三角恒等式 我做了一些代数运算 这里 这两个表达式乘积的极限 等于两个极限的乘积 我可以把它改写成,等于 当x趋于0时,sinx / x的极限乘以 当x趋于0时, sinx / (1 + cosx)的极限 现在,我们说,在这个视频中 我们假设我们知道这是什么 我们已经在其他视频中证明过了 当x趋于0时 sinx / x的极限是多少? 它等于1 所以,整个极限取决于 它等于什么 这很简单 当x趋于0时,分子趋于0 sin(0)等于0 分母接近于 cos0等于1 所以分母接近2 所以这个接近于0 / 2,或者就是0 这是接近零 1乘以0,这个就等于0 做完了 利用这个事实, 再加上一点三角恒等式和一点代数运算 我们就能证明原来的极限 当x趋于0时 (1 - cosx / x)的极限等于0 我鼓励你们画出来 您将看到,从图形的角度来看 这也是有意义的