当x接近0时，sin(x)/x的极限

这一节我们要做的是 证明 当趋于0时 sinθ/θ的极限 等于1 让我们从一个几何 或三角结构开始 这个白色的圆，这是一个单位圆 我们这样标记 它的半径是1 单位 圆 那么这条鲑鱼色的线 的长度代表什么呢? 这条直线的高度 就是半径与单位圆的y坐标 根据定义， 根据三角函数的单位圆定义 这条线的长度是sinθ 如果我们想确保 它对最后在第四象限的也成立，这很有用， 我们可以确定 它是sinθ的绝对值 那么这条蓝线呢? 可以用三角函数来表示吗? 我们想一下 tanθ等于多少? 我写在这里 tanθ等于 对边比上邻边 如果我们看这个更宽的三角形 这是以弧度为单位的角 这是对边 下面的邻边，它的长度是1 记住，这是一个单位圆 所以它的长度是1 tanθ是对边 对边等于tanθ 和之前一样 第一象限的这部分是正的 但为了证明， 我希望第一象限 和第四象限都能成立 所以我要在这里写上绝对值 现在我们做完了 我要考虑一些三角形 和它们各自的面积 首先，我要画一个三角形 它在这个楔形上，在这个饼状图上 这个圆内的饼状图 所以我可以构造这个三角形 那么我们想一下 我在这里画阴影的区域 我怎么表达这个面积呢? 它是个三角形 我们知道三角形的面积是 1/2底乘以高 我们知道 高是sinθ的绝对值 我们知道底等于1 所以这里的面积等于1/2乘以底 也就是1 乘以高 也就是sinθ的绝对值 我在这里重新写一下 我可以把它改写成 sinθ的绝对值除以2 现在我们想一下我用黄色 标出的这个楔形的面积 那么这个占整个圆的比例是多少? 如果绕一圈 就是2π弧度 所以这是θ/2π除以整个圆 我们知道圆的面积 这是一个单位圆，半径是1 所以它要乘以圆的面积 也就是π乘以半径的平方 半径是1，所以就是乘以π 所以这个楔形的面积 是θ/2 如果我们想让它 适用于第四象限 我们可以在这里写一个绝对值符号 因为我们讨论的是正的面积 现在我们来考虑这个蓝色的大三角形 这很简单 这里的面积等于1/2乘以底乘以高 所以面积，再一次，这是这整个是 等于1/2乘以底，也就是1 乘以高 也就是tanθ的绝对值 所以我可以把它写成 tanθ的绝对值除以2 现在，你如何比较 这个粉色三角形 或者这个浅橙色三角形的面积 这个三角形位于这个楔形内 你如何比较这个楔形的面积和更大的三角形的面积? 很明显，鲑鱼三角形的面积 小于等于这个三角形的面积 而这个三角形的面积也小于等于 这个大的蓝色三角形的面积 这个楔形包括鲑鱼三角形 加上这个区域 蓝色三角形包括这个楔形 加上这个面积 我想我们可以直观地感觉到 这个表述是正确的 我要做一点 代数运算 我把所有的都乘以2 所以我可以重写 sinθ的绝对值 小于等于的θ绝对值 小于等于也就是tanθ的绝对值 我们看一下 实际上，不写tanθ的绝对值 我要把它改写成 sinθ的绝对值 除以cosθ的绝对值 这就等于 tanθ的绝对值 我这样做的原因是 我们现在可以把所有的 都除以sinθ的绝对值 因为除以的是正数 它不会改变不等式的方向 我们来做一下 我要把它 除以sinθ的绝对值 我要把它 除以sinθ的绝对值 我要把它 除以sinθ的绝对值 得到什么? 在这里，我得到一个1 在右边 我得到一个1除以cosθ的绝对值 这两个消掉了 下一步我要做的是 取所有项的倒数 所以当我取它们的倒数时 这实际上会改变不等式 1的倒数仍然是1 但现在，因为我求的是它的倒数 它将大于或等于 sinθ的绝对值 除以θ的绝对值 它大于等于 1除以 cosθ的绝对值的倒数 等于cosθ的绝对值 我们只关心第一和第四象限 你可以想象 从这个方向 或这个方向接近于0 这是第一和第四象限 如果在第一象限，是正的 sinθ也是正的 如果在第四象限，θ是负的 sinθ的符号是一样的 它也是负的 所以这些绝对值符号是不必要的 在第一象限 sinθ和θ都是正的 在第四象限，它们都是负的 但是当你把它们相除时 就会得到一个正值，所以我可以把这些擦掉 如果在第一象限或第四象限 X值不是负的 所以cosθ，也就是单位圆上的x坐标 不是负的 所以我们不需要绝对值符号 现在，我们应该暂停一下 因为实际上我们快做完了 我们刚刚建立了三个函数 你可以把它看成f (x)等于 你可以把它看成f (θ) = 1 g(θ)等于这个 h(θ)等于这个 在我们所关心的区间内 我们可以说 - π/ 2小于θ小于π/ 2 但是在这个区间内 这对于任何有定义的函数都成立 sinθ/θ在这个区间内定义 除非θ等于0 但是因为我们在其他地方都有定义 现在可以求极限了 所以我们可以说 根据夹挤定理或三明治定理 如果这在区间内成 那么我们也知道下面的是正确的 这个，我们应该来点鼓声 θ趋于零 θ趋于零 这将是大于或等于 θ趋于零 这是我们关心的 sinθ/θ, 等于大于或等于 θ趋于零 现在这个显然等于1 这是我们关心的 这个，当θ趋于0时 cosθ的极限是多少? cos0 = 1 它是一个连续函数 所以这就是1 让我们看看 这个极限要小于等于1 它大于等于1 所以这个一定等于1 做完了