夹逼定理介绍

我们现在将要讨论 在数学中我最喜欢的理论中一个 那就是夹逼定理 它是我在数学中最喜欢的理论之一的 主要一个原因是，字面上有“夹逼”一词 这个词 你在大部分的数学中都看不到 但它是非常恰当的命名 它也经常被叫做三明治定理 这也是一个恰当的名字，我们一会儿就会明白 因为它被称作三明治理论 让我们首先考虑一个类比 来得到夹逼准则或者三明治理论的 感性的认识 让我们说，那儿有3个人 让我们说，那儿有小兰，让我们说那儿有小迪 并且让我们说那儿是小萨 让我们说，小兰，在给定的一天 他总是吃入最少的卡路里 并且小萨，在给定的一天，总是 吃入最多的卡路里 所以，在给定的一天，我们总是能说 小迪吃的至少和小兰一样多 然后，我们能说，小萨吃的至少和 那些是重复的字，和小迪一样多 所以，我们能在这里建立一个不等式 在给定的一天，我们能写，小兰的卡路里 在给定的一天，将小于等于小迪的卡路里 在同一天，小迪的卡路里 将小于等于小萨的卡路里，在同一天 现在，我们说，在星期二 我们说在星期二，你发现 小兰吃了1500卡路里 在同一天，小萨也吃了1500卡路里 所以，基于这个 那一天，小迪一定吃了多少卡路里？ 嗯，他总是吃的至少和小兰一样多，所以 他吃了1500卡路里，或者更多 但他总是小于等于 小萨吃入的卡路里量 所以他一定少于或等于1500 嗯，那儿只有一个数字 是大于或等于1500，并且小于 或等于1500，那就是1500 所以，小迪一定也吃了1500卡路里 这是常识 小迪一定吃了1500卡路里 夹逼准则，本质上 是它的关于函数的数学版本 你甚至可以，把小迪吃入的卡路里，看作是关于日期的函数 小萨的卡路里也是日期的函数 小迪的卡路里也是日期的函数 它们之间总是保持这个关系 现在，让我们把它变得更数学一些 所以，让我把这个清除掉，让我们有些空间 去写些数学的东西 让我们说，我们有同样的类比 让我们说，我们有三个函数 让我们假设，f(x)在一些区间上 总是小于等于 在同一区间上的g(x) g(x)总是小于等于同一区间上的h(x) 所以，让我把它画出来 所以，这是我的y轴 这是我的x轴 我将画出x轴上的一个区间 在这儿 所以，让我们假设，h(x)看起来像那样 让我们让它更有趣些 这是x轴 让我们假设，h(x)看起来像这样 所以这是我的h(x) 让我们假设，f(x)看起来像这样 或许它有点变化，然后它又上来， 然后它上升成这样， 所以f(x)看起来是这样的 然后，g(x)，对于任何x值 g(x)总是在这两个函数之间 我想，你已经看到了夹逼发生在哪儿 或者说三明治发生在哪里 如果h(x)和f(x)是面包皮 g(x)就是中间的肉 所以，它看起来就像是这样 现在，让我们假设，我们知道这是在比喻 在特定的一天，小萨和小兰吃了相同的数量 让我们假设，对于特定的x值 x趋近于该值，函数f 和h 的极限 它们趋于相同的极限 所以，让我们把x值取在这里 让我假设，x=c，就在这里 让我们假设 当x趋近于c，f(x)的极限等于L 让我们假设，当x趋近于c，h(x)的极限也等于L 所以，注意，当x趋近于c h(x)趋近于L，当x从另一侧趋近c, f(x)趋近于L. 所以，这些极限需要是已经定义的。 实际上，函数并不需要 在x趋近于c的时候有定义 只是在这段区间上 当我们趋近它时，它们需要有定义 在这个区间，这必须是有定义的 如果这儿的这些极限是有定义的 因为我们知道，g(x)总是夹在 这两个函数中间，因此 在那一天，或者对于给定的x值 我应该走出那个吃食物的比喻 这告诉我们，在这个区间上都是成立的 这告诉我们，当x趋近于c是，g(x)的极限 也一定等于L 再来一次，这是常识 f(x)趋近于L，h(x)也趋近于L, g(x)是三明治中间的肉 所以它也不得不趋近于L 你可能会说，当然，这是常识 这有什么用？ 嗯，你将看到，在寻找古怪函数的极限时 这会非常有用 如果你能找到一个总是大于它的函数 和一个总是小于它的函数 并且你能找到当它们趋近于某个值时的极限 它们是相同的极限，然后 你知道，这个夹在中间的古怪的函数 也将趋于相同的极限