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全微分方程示例1

求解全微分方程的第一个例子。 Sal Khan 创建

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好吧 我在你们脑瓜里 写满了一堆的偏导数和Ψ 关于各种x和各种y 我想 现在是时候 来处理真正的微分方程了 让一切来得更具体些 我们有微分。。。y。。。 微分方程 ycosx 加上2xe^y+sinx 。。。 用太多空间了 x2乘以e^y 减去1 乘以y' 等于0 好吧 希望大家的脑子 都切换到微分方程模式了 但如果你从总体看这个式子的话 这是x、y的一个函数 是一个关于x、y的函数 这是另一个关于x、y的函数 乘以y' 或者说dy/dx 脑子里马上想到 这是不可分离变量的 我不会尝试去分离变量 因为那会花费太多时间 如果它不可分离 就要想到 这可能是一个恰当方程 你会说 来看看是否为恰当方程 如果是恰当方程的话 这是我们的M(x,y) 这是我们的N 也是x、y的一个函数 下面 就要看看关于y的 偏导数 是否等于关于x的偏导 来看看 M关于y的偏导 等于。。。 看看 y是。。。 cos x看做常数 是cos x cos x加上 。。。它的导数是什么? 好吧 2x也是常数 e^y的关于y的导数是什么呢? 就是e^y 对吧? 还有我们的“常数” 2x乘以 关于y的导数 是2xe^y 简单吧 那这部分关于y的偏导数 是什么呢? Nx 或者说N关于x的偏导 sinx关于x的偏导数 是啥子呢? 很简单 就是cos x了 加上2x*e^y 对吧? e^y只是看做常数 因为我们求关于x偏导的时候 y看做常数 加上2xe^y。。。 还有-1 常数的导数 无论关于什么的 都是0 N的导数。。。应该是N 关于x的偏导 是cos x+2xe^y 看吧 它和M关于y的偏导数 是一模一样的 我们来到这里了 我们看到了 My是等于。。。 或者说 M关于y的 偏导数是等于N关于x的 偏导数 这就告诉了我们 这是恰当方程 现在 知道了这是恰当方程。。。 噢 我夫人在后面晃悠 我想吧 有些什么动物 在我房子里面 不管了 我们知道这是恰当方程 它能告诉我们什么? 它告诉我们 存在Ψ 它关于x的偏导数 是M Ψ关于y的偏导数 是N 如果知道了Ψ 我们就可以重写微分方程 写作Ψ关于x的导数 等于0 于是我们来解Ψ 我们知道 Ψ关于x的偏导 是M 写下来 Ψx是 等于M 也就是ycos x 加上2xe^y 在这里 这是M 也可以用另一种方法来写 我们说Ψ 关于y的偏导数 是这个 但刚才只写了关于x的 现在 至少近似地得到了。。。 不是近似地 是大致了解。。。 求两边的的导数 不对 取不定积分 关于x求不定积分 求导数的话 【各种口误啊~】 关于x。。。 不对 是积分 如果你对其关于x 求不定积分 我们写下来 关于x的偏导 求关于x的积分 这会是 这个式子关于x的积分 是cos x+2xe^y 是求关于x的积分 关于x求积分的话 可以说 要加上C 对吧? 但现在是加上。。。 因为这是关于x的偏导 总的来说 我们要加上f的函数 因为我们把y看做常数 对吧? 这是有意义的 因为如果你 对两边求关于x的偏导 如果你对一个以y作为变量的函数 关于x求偏导 结果是0 所以当你求不定积分时 你可能 需要把关于y的函数加回去 它们是求关于x的偏导时丢掉的(为0) 无论如何 这用Ψ表示 Ψ等于关于x的 积分 或者说是关于x的不定积分 加上f(y) 它在我们求关于x的偏导时 为0 我们来做一下 算出这个积分 用蓝色吧 y是常数 ycos x的不定积分 是ysin x 加上。。。y是常数 2x 2x的不定积分 是x2 也就是x2e^y 然后加上f(y) 如果你想验证的话 就对结果求关于x的偏导 如果你求它关于x的偏导 就能得到这里的式子 也就是上面的M 然后你对它关于x求偏 得到0 它消失了 好的 快得到结果了 我们马上就算出了Ψ 我们还是需要算出f(y)的 好的 如果对它求关于y的偏导 因为这是恰当的 应该得到这个 得到我们的函数N 来做一下吧 偏导。。。换一下记号 让大家多适应 那?Ψ/?y 等于。。。 这里ysin x sin x是常数 y是y 它的导数 关于y的导数 是sin x 加上e^y的导数是e^y x2是常数 所以这是x2e^y 加上。。。f(y)关于y的偏导是什么呢? 是f'(y) 好吧 我们做了什么? 正如我们说的 对M关于x求积分 我们把f(y)丢掉了 所以要加回去 然后我们对它求导 我们马上就求完了 关于y求偏导 现在 我们知道 因为是恰当的 所以这等于N N在上面这里 是cos x加上。。。 等于。。。 确定一下我写对了 等于N 对吧? 不好意思 N在这里 N是这样的 sin x。。。 写一下吧 sin x+x2e^y 减去1 也就是 sin x +x2e^y-1 这是我们的N 在原方程中能看到 现在我们可以求出f'(y)了 来看看 我们有sin x+x2e^y 加上f'(y) 等于sin x 加上x2 乘以e^y 减1 看看 我们可以在两边消去sin x 也可以在两边消去x2e^y 然后还剩下什么呢? 剩下f'(y)=1 然后就得到f(y)等于 好了 是等于y+常数C 对吧? 现在 Ψ是什么呢? 我们把Ψ写在这里了 它包含了f(y) 现在可以重写了 Ψ是x、y的函数 实际上 我们解出来了 Ψ(x,y)等于 ysinx 加上x2e^y 加上y 喔 不好意思 f'(y)等于-1 所以这是-1 这是-y+C 这也就是 -y+C 我们解出Ψ了 这告诉了我们什么? 好了 原始的微分方程 在这 利用偏导下的链式法则 原始的微分方程 现在可以重写为 Ψ关于x的导数是。。。 Ψ是x、y的函数 等于0 如果你对两边求积分 得到Ψ(x,y)=0 这是微分方程的一个解 如果让这等于C 这是微分方程 我们可以说 有ysin x+x2e^y 减去y 可以说 加上这个C 写出C1 等于C2 好的 两边可以减一下C M是Ψ关于x的偏导 N关于x求偏 N是Ψ关于y的偏导 Ψ是这个 一旦它们是相等的 就可以欣慰了 下节课见 为了求出f(y) 但正如我们说的 不是用C 关于x求积分 得到这个 关于y的 得到这个 因为它是恰当的 因为这是对x的偏导数 对于微分方程 就可以解出Ψ了 我们可以把它重写为这样 我们对求出的Ψ 我们说 这是恰当方程 所以它可能会被消去 所以这会等于N(x,y) 无论怎样 我们解出了这个恰当方程 最后就只剩下一个C了 求偏导数 然后对M求积分 然后得到最后的Ψ 由偏导下的链式法则 看看它是否等于 知道了它是恰当的 而是要用f(y) 这两个是相等的 这就可以解出f(y)了 这是原微分方程的解 这是解 这部分关于y求偏 首先 要认出它是恰当的