全微分方程示例3

欢迎回来 我还是继续 给大家展示更多的 关于恰当微分方程的例子 首先 我们要 检验一下方程是否恰当 然后如果是恰当的话 大家都知道 怎样去求出Ψ以及方程的解吧？ 我书上的下一个例子 是(3x2-2xy+2)dx 加上(6y2-x2+3)dy 等于0 如果写出这样的话 它的表面形式并不是我们喜闻乐见的 对不？ 我们想要什么形式的呢？ 我们想要 关于x、y的一个函数 加上另一个关于x、y的函数 乘以y' 或者dy/dx 等于0的 接近了 怎样把这个方程化为那样的呢？ 只需要把方程两边除以dx 对吧？ 然后就得到了 3x2-2xy+2 除以dx了 dx就变成了1 加上6y2-x2+3 除以dx的话 这就变成了dy/dx 等于。。。0除以dx是什么啊？ 还是0 这就做到了 我们把方程写成了 想要的形式 现在我们需要证明 这是恰当方程 来吧 M的偏导是什么？ 这是函数M 对吧？ 这是加号 这部分关于y的偏导是多少？ 这是0 这是-2x 这是一个2 这部分关于y的偏导是-2x 那N关于x的偏导呢？ 这是0 这会是-2x 得到结果了 M关于y的偏导 等于N关于x的偏导 My等于Nx 我们处理的是方程是恰当的 下面我们来求出Ψ Ψx等于M 也就是3x2-2xy+2 两边关于x 求不定积分 得到Ψ等于 x3减去x2y 因为y看做常数 加上2x 加上关于y的函数 对吧？ 我们知道Ψ是关于x、y的函数 当求导数的时候 当你关于x求偏导的时候 仅关于y的函数就会消失 它表现得像是常数 正如刚开始学不定积分那样 现在 为了解出Ψ 我们只需要求出h(y) 怎样做呢？ 我们来对Ψ求关于y的偏导 结果会是等于这个 Ψ关于y的偏导 这是0 这是-x2 所以是-x2 这是0 加上h'(y) 这等于什么呢？ 它等于我们的N(x,y) 它会等于这个 下面我们可以解了 它等于6y2 减去x2 加3 两边加上x2 消掉这俩 这样就只剩下h'(y)了 它等于6y2+3 求不定积分 h(y)等于。。。 2y3+3y 加上一个C 但最后解完方程的话 C会被合并处理掉 所以现在就不用太关心它了 我们的函数Ψ是什么呢？ 用一种新的颜色吧 函数Ψ(x,y) 等于x3-x2y+2x 加上h(y) 我们已经知道它了 h(y)是2y3+3y 也可以写上C 但它并不那么重要 实际上 我想 做一些不同的东西 我不想只是单纯地解出它 我想回去看看它的内涵 因为我不想完全地机械化 给大家展示一下 利用我们知道的 偏导下的链式法则 来求Ψ关于x的导数 Ψ关于x的导数是什么呢？ 【译者注：注意用词，是“导数”而不是“偏导”】 这里 我们想用一下隐式微分技巧 它的导数 用新的颜色来写 3x3减去 现在我们 要用到链式法则了 第一个表达式 关于x的导数 好吧 把负号放这 就可以这样来写了 它是2xy 加上第一个函数 x2 乘以 第二个函数关于x的导数 【这是求导的乘法法则】 也就是y' 对吧？ y关于y的导数是1 乘以y关于x的导数 也就是y'了 很简单 加上这个 关于x的导数 是2 加上这关于x的导数 好吧 我们先来 求这关于y的导数 我们在求隐式微分 用链式法则 这是6y2 用链式法则 我们求出了关于y的导数 然后必须乘上 y关于x的导数 也就是y'了 加上这部分关于y的导数 3乘以。。。 我们在用链式法则 y关于x的导数 也就是y' 来看看能不能化简一下 这是3x2-2xy+2 这是这项 这项 和这项 加上。。。把y'写外面 y'乘以。。。 看看 外面有一个负号 -x2+6y2 加上3 这个我们求出的Ψ的导数 来看看是不是一样的 希望它和我们的原问题一样 我们最开始的 原始方程是什么了？ 原始问题是 3x2-2xy+2 加上6y2-x2+3 乘以y' 等于0 这是我们的原始问题 注意到 Ψ关于x的导数 应用隐式微分法 恰好就是这个 希望大家能够理解 为什么我们可以把方程写为 函数Ψ(x,y) 关于x的导数为0 因为Ψ关于x的导数 我写出来了 它是一样的 这里 对吧？ 它等于0 如果我们对两边求不定积分 我们知道原微分方程的解 是Ψ(x,y)=C 现在我们知道Ψ了 让它等于C 我们求出了 微分方程的一个隐式解 是隐式的 解的话 你不必每次都这样做 这里的这些步骤 不是必要的 除非老师明确要求要做 我只是为了让你们 知道自己在做什么 这样就不会只是机械地做题了 你们确确实实看到了 Ψ的导数 我们求出了Ψ 我只是想告诉大家 Ψ关于x的导数 只是利用隐式微分和链式法则 就能得到 方程的左边 就是问题中的那样 然后为什么我们会知道 Ψ关于x的导数 等于0呢？ 因为原始的微分方程 就是等于0的 对这的两边求不定积分 可以得到Ψ=C 这是微分方程的解 如果你想写出来的话 Ψ是这样的 我们的微分方程的解 是x3-x2y 加上2x+2y3 加上3y 等于C 这是原始微分方程的 隐式解 我又一次超时了 下次见吧