全微分方程的直观了解1 (证明)

现在我要给大家介绍恰当方程 这不过是另一种 解一种特定类型微分方程的办法 我开始写了 恰当方程 在我展示恰当方程之前 我先给大家 展示一下必要的基础内容 这样当我作证明时。。。 至少大家能有个直觉吧 那就不会以为是凭空而来的了 假设 有一个关于x、y的函数 让它是Ψ吧 这是因为 人们倾向于用它表示恰当方程 Ψ是x、y的函数 大家可能还不习惯 在偏导下来应用链式法则 不过我马上给大家展示 我会给大家一些直觉 尽管我不去证明它 如果我对它求关于x的导数 这里y也是x的函数 我也可以这样写 y是。。。 清除 Ψ是x、y的函数 y也是x的函数 可以写成这样 这不过是两种不同的 写出同一样东西的方法 现在 如果我要对Ψ 求关于x的导数 这就是基础知识了 如果我对Ψ求 关于x的导数 等于。。。 这是在求偏过程中应用链式法则 我不去证明了 但这里会给出直观的印象 这会等于 函数Ψ 关于x的偏导 加上Ψ 关于y的偏导 乘上dy/dx 这能给大家一些直觉性的东西吧 这里是关于x的导数 你可能会说 但不能那样说 因为这边是关于y的偏导 还有dy呢 它们是不一样的吧 但如果消去的话 就得到了另一个关于x的导数 如果加到一起的话 就得到了关于x的完整导数了 这并不完全是直觉 只是为了告诉大家 这些个符号也有一些直观的东西 现在的话 我们说Ψ Ψ并不是总是这样的形式 但你可以用相同的方法 用更复杂的记号来写Ψ 但这里还是用Ψ 我就不写出 Ψ是x、y的函数了 我们知道 它确实是 我们说 它是x的某函数 用f1(x)表示 乘上关于y的函数 有很多这样的项 有n项这样的东西 一直加到第n项 第n个关于x的函数 乘上第n个关于y的函数 我这样定义了Ψ 这样我就能 应用隐式微分 给你一些直觉的东西 当我对它关于x求导 事实上会得到这样的东西 Ψ关于x求导是什么呢？ 这是我们之前学过的 隐式微分 大家可能 在微积分课程开始就学了 这是。。。 用求导的乘法法则 对吧？ 第一个表达式 对它求关于x的导数 是f1'(x) 乘以 第二个函数g1(y) 然后是 第二个函数的导数 乘上第一个函数 因此 就是f1(x) 乘以第二个函数的导数 现在第二个函数的导数 它是关于y的函数 可以写为g1'(y) 不过当然 我们要用链式法则 乘以dy/dx 你可能想看看 关于隐式微分的视频 如果这看上去有点陌生的话 但这里 我所做的 这个表达式 是它关于x求导 我们有n项这样的 如果把它们加到一起 竖着来写吧 加上。。。 有一堆这样的东西 最后一项看上去也一样 不过是第n个关于x的函数罢了 是fn'(x)gn(y) 加上前项fn(x) 乘以后项的导数 后项关于y的导数 是gn'(y) 由链式法则 还有dy/dx 现在就有了2n项 这里有n项 对吧？ 每一项都是f(x)*g(y) 或者说f1(x)*g1(y) 一直加到fn(x)*gn(y) 现在对于每一项 由乘法法则 得到了两项 把这些加到一起 加到一起的话 这边是没有dy/dx的 得到什么呢？ 把它们加起来 我想 可以称之为“左侧” 只是重新排列了 等于f1'(x)*g1(y) 加上f2'*g2。。。 一直到fn'项 不好意思 是fn'(x)gn(y) 只是把这些加到一起 再加上这些 这些都带有dy/dx 我用另一个颜色来写 所有的这些 都用另一个颜色写 另一种颜色 加上f1(x)g1'(y) 最后再写dy/dx 把它提出去 加上。。。 有n项 加到fn(x)gn'(y) 最后这些项都要乘以dy/dx 现在看上去有趣多了 一开始我们定义了Ψ 在上面这里 但绿色项是什么呢？ 好吧 我们 只是处理了其中的每一项 这里的绿色项 是关于x 对每一项求了偏导 因为如果你 关于x求偏导 关于y的函数就是常数 对吧？ 对它们关于x求偏导的话 就是这样了 如果你对这项 求关于x的偏导 就是把关于y的函数看作常数 这项导数就是f'1(x)g1(y) 因为g1(y)是常数 其他的类似 所有的这些绿色项 都可以看做对Ψ求关于x的偏导 我们假设了y是常数 同理 忽略它 如果你只看这里 这是什么呢？ 这里的Ψ 我们把关于x的函数看做常数 然后只是求关于y的偏导 这就是为什么g上会有撇号 然后我们乘以dy/dx 可以写出来 这等于。。。 用绿色吧 这里的绿色项 是Ψ关于x的偏导 加上。。。这里的紫色部分是什么呢？ 用另一个颜色写 紫色 这里 是Ψ关于y的偏导数 乘以dy/dx 这就是我想通过这个视频 展示给大家的 我发现 我又要超时了 链式法则 先是一个变量 然后第二个变量 也是x的函数 这就是链式法则了 如果Ψ是x、y的函数 我要求的不是偏导数 而是Ψ关于x的全导数 它等于?Ψ/?x 加上?Ψ/?y*dy/dx 如果y不是x的函数 或者说y独立于x 那dy/dx=0 这项就是0 那dΨ/dx 也就是等于?Ψ/?x了 但无论如何 我希望大家记住这些 这里我没有作证明 但还是希望给大家一种直觉 希望没误导大家 我们将会在下一个视频中 用到这个性质 去理解恰当方程 我发现 在这个视频里 最后给大家的还是一种直觉 我没有告诉大家什么是恰当方程 下节课见吧