积分因子1

大家可以通过微分方程 学到很多不同的技巧 在这个视频里面 我教大家一个 它的作用很大 因为它总是。。。 也许有一天 你成为了数学家或者物理学家 遇到了一个未解决过的问题 有些技巧 虽然学的时候 是用来解决简单得多的问题的 它也可能 帮助解决未解问题 这当然很好啦 如果你正在解微分方程 比如在试卷上 它就很有用 我们马上来学――积分因子 如果我们有一个这样的微分方程 这是我们的方程 3xy。。。 我尽量写工整一些 加上y2 加上(3xy+y2)y' 等于0 特别地 因为我们最近所学的 当你看到这样形式的方程时 有一个关于x、y的函数 然后是另一个关于x、y的函数 乘上y' 等于0 就可以说 噢！这看上去 很可能是一个恰当方程 怎样检验呢？ 我们可以对这部分求 关于y的偏导 我们把这个关于x、y的函数为M 它关于y的偏导 M关于y的偏导是3x+2y 这里的这个函数 从形式上看 这是我们的N 也是关于x、y的函数 关于x求偏导 得到2x+y 为了让 方程是恰当的 这部分关于y的偏导 必须等于这部分 关于x的偏导 但我们看到这两个 它们并不相等 它们不相等 所以 至少从表面上看 现在就我们看到的 它并不是一个恰当方程 但如果有某个因子 或者函数 方程两边都乘以这个因子 它可能会是恰当的吗？ 我们称之为μ 所以 我想做的是 方程两边乘上函数μ 然后来解出μ 使得方程是恰当的 因此 来操作吧 方程两边都乘以μ 为了简单点 μ可能是x、y的函数 也可能是x的函数 可能只是x的函数（与y无关） 也可能是y的函数（与x无关） 我假设它是x的函数 你也可以假设它是y的函数 然后去求它 当然也可以假设是x、y的函数 如果你假设它是x、y的函数 它就会很难求出 但这不意味着 只有一个μ 所以 我们还是假设μ是x的函数吧 方程两边都乘以μ 得到μ(x)(3xy+y2) 加上μ(x)(x2+xy)y' 然后 0乘以任何函数是什么？ 好吧 就是等于0 对吧？ 0乘以μ(x)等于0 但我确实在右边乘上了μ(x) 记住我们正在做什么哈 μ(x)是。。。我们乘它的目的是 方程两边乘以它之后 就能得到一个恰当方程了 所以现在 我们考虑新的M 它关于y的偏导 应该是等于这部分 关于x的偏导 那它关于y的偏导是什么呢？ 好吧 如果我们关于y求偏导的话 μ(x)作为只关于x的函数 它和y无关 把它看作常数 对吧？ 关于y求偏导 x看作常数 只关于x的函数都可以看作常数 这部分关于y的偏导 等于μ(x) 乘以3x+2y 这是这部分关于y的偏导 这部分关于x的偏导呢？ 好吧 这里我们用一下乘法法则 我们对第一个表达式求 关于x的偏导 μ(x)不再是一个常数啦 因为我们是在求关于x的偏导 所以 μ(x)关于x求偏导 好吧 是μ'(x) 不是u哈 是μ'(x) μ是一个希腊字母 读音是 mu~ 看上去像是u μ'(x)乘以第二个式子 是x2+xy 加上第一个式子 这是乘法法则 μ(x) 乘以第二个式子 关于x的导数 乘以。。。这行写不下了 2x+y 对于新的方程 两边乘以μ(x)之后的 为了使得它是恰当的 这两个必须是相等的 恰当的前提是这样的 我们说 这是恰当的 下面 我们来求μ 看看能不能做到 看看 这边的话 是μ(x)(3x+2y) 让我们两边都减去这个 减去μ(x)(2x+y) 可以看到 这些微分方程问题 会很繁琐 涉及很多的代数内容 它等于。。。还剩下什么呢？ 用黄色写吧 它等于。。。 又用地儿太多了 在下面一点写 它等于。。。只有这项了 它等于μ(x)(x2+xy) 看看 如果把μ(x)提出去 得到 μ(x)(3x+2y-2x-y) 等于μ'(x) 即μ关于x的导数 乘以x2+xy 现在 化简一下 得到μ(x)乘以。。。 这是什么？ 3x-2x=x 2y-y。。。 所以是x+y 等于。。。 我把这边化简了 它等于μ'(x) 我们把x提出去 这样做的原因是 因为把x提出去之后 就得到了x+y 所以 这是μ'(x)x(x+y) x乘以(x+y) 我这样做的原因 是两边都有x+y了 也就是两边可以除以它了 如果两边除以(x+y) 前提是它不等于0 这么做之后 事情简单多了 得到μ(x)=μ'(x)x 现在 和我脑子想得一样 重写一下式子 从算符角度出发 重写μ'(x) 为dμ/dx 写下来吧 所以 μ(x)等于。。。 μ关于x的导数 乘以x 这是一个可分离变量 微分方程 这是大问题中的 小问题 我们是在求 这里的积分因子 两边除以x 得到μ/x 现在就是可分离变量方程了 它等于dμ/dx 然后两边除以μ(x) 得到1/x=1/μ 它是μ(x) 简写为1/μ了 乘上dμ/dx 水平地写下去吧 两边乘以dx 得到dx/x=dμ/μ 现在 你可以对两边积分了 得到的是 x绝对值的自然对数 等于μ绝对值的 自然对数 如此如此。。。 但这看上去更清楚些 x=μ 或者μ=x 对吧？ 它们是一样的 如果你看看这方程两边 可以把x换成μ 它就变成另一边了 因此 这告诉我们 μ(x)等于x 或者μ=x 我们有了积分因子 如果你想的话 你也可以对两边求不定积分 得出自然对数 那样那样。。。 你还是会得到一样的答案 但一眼看上去 仅凭观察 也能知道μ=x 因为方程两边 是一模一样的 无论怎样 我们得到了积分因子 但我超时了 在下一视频中 我们会用到这个积分因子 把它乘到微分方程两边 使其恰当 然后像解恰当方程那样去做 下节课见