积分因子2

在上一个视频里面 我们有这个微分方程 它至少看上去是恰当的 但当我们求这个的 偏导数时 也就是My 它和 这个的偏导数 也就是恰当微分方程世界的Nx 是不一样的 My和Nx是不相等的 我们说 哎 它不是恰当的 但我们说 如果方程两边 都乘以某函数 那会是恰当的吗？ 我们称那为μ 上一个视频里面 我们求出了μ 好吧 如果方程两边都乘以μ(x) 也就是x 就使得这是一个恰当方程了 要指出的是 也可能存在某个y的函数 乘上它之后 也可以是恰当的 也可能存在x、y的某函数 使得方程恰当 不过我们的目标是使它是恰当的 不管我们取哪个 积分因子 我们称那是积分因子 我们取的是积分因子 无论如何 来试试吧 我们来解问题吧 方程两边都乘以μ μ(x)是x 两边乘以x 看看 这项乘以x的话 得到3x2y+xy2 我们用x乘以这些项了 加上x3y+x2y y' 等于0 好吧 首先 为了检验一下 我们要确定这个一个恰当方程 这个式子的偏导数 或者说这个子函数 关于y的 好 是3x2 这对于y来说 是一个常数 加上2xy 它是这个式子关于y的偏导 现在 来求这个关于x的偏导 得到3x2+2xy 我们得到了 这部分关于y的偏导数 是等于这部分关于x的偏导 现在我们的方程是恰当的 它的解和它是一样的 我们所做的 只是在方程两边都乘上了x 这并不会 改变方程的解 或者说 微分方程的解 它是恰当的 来解它 我们要怎么做呢？ 我们说 好吧 因为它是恰当的 我们知道 存在函数Ψ Ψ关于x的偏导数 等于这里的这个式子 它是3x2y+xy2 我们对两边求 关于x的积分 得到Ψ等于什么呢？ 等于x3y 加上1/2 x2y2 当然 Ψ是x、y的一个函数 当你对它求关于x的偏导时 那样做的话 你可能会丢失 关于y的函数 所以 加上的不是C 应该是我们丢失的、y的一个函数 求不定积分时 要把它加回去 这是我们的Ψ 但我们还没有完全搞定 因为我们还要 求出关于y的这个函数 我们求它的办法 要用到 这部分关于y的偏导数 等于这个 来建立等式 这个式子关于y的偏导数 是什么呢？ 我可以写成 Ψ关于y的偏导 等于x3 加上2*1/2 也就是x2y+h'(y) 这是仅和y相关的函数 和y相关的 然后它必须等于新N 或者说 乘以积分因子之后的N 所以 它是等于这里的这个 这个 希望大家能明白吧 它应该等于 x3加上x2y 很有趣吧 这边的这些也在这边 所以 两边减去这两项 x3 x的立方 x2y x的平方乘y 然后就剩下h'(y)=0了 你也可以说h(y)等于某常数 不包括y 和y无关 只剩下常数了 为了我们的目标 我们可以说 Ψ是这个 因为这是常数 我们是会求不定积分的 右边也会有常数 在之前的视频中 常数都会被合并 所以 我们可以说这就是Ψ 我们知道这个微分方程 这里 可以重写成 Ψ关于x的导数 不是偏导了 因为用了链式法则 Ψ关于x的导数是0 如果你求Ψ关于x的导数 它应该等于这一整个 用偏导下的链式法则得到 我们求出了Ψ 所以可以写。。。 其实不是必须的 我们可以用到这个事实 如果对两边作积分 就得到了微分方程的解 是Ψ=C 我只是对两边求了不定积分 所以 微分方程的解 是Ψ=C 因此 Ψ 等于x3y+1/2x2y2 我们也可以在这里加上C 但我们知道 解是Ψ=C 所以我们还是把C写这吧 也可以在这写一个C 但这也有一个C 又有另一个C 就可以在两边减去它了 它们又会合并为另外一个C了 但不管怎样 我们解出来了 我们有一个微分方程 至少表面上看是恰当的 看上去是 但是 但我们检验它的恰当性时 发现它不是 但我们乘上了积分因子 在上一个视频中 我们解出了 一个可能的积分因子 也就是两边都乘以x 那样做之后 检验的话 比珍珠还真 它就恰当了 然后 既然它是恰当的 我们知道 存在一个Ψ Ψ关于x的导数 是等于这里的整个式子 所以我们可以把微分方程重写成这样 我们知道解是Ψ=C 为了解出Ψ 好吧 Ψ关于x的偏导数 是这个 求两边的不定积分 会有一个h(y) 它不是常数 是y的函数 它会丢失 在我们求关于x的偏导时 为了得出结果 我们取这个式子 求它关于y的偏导 让它等于N 这样做之后 我们求出了 h(y)其实是个常数 我们可以写 也可以加上C 把它称作C1或者别的 但我们知道 原微分方程的解 是Ψ=C 所以我们的微分方程 是Ψ=x3y+1/2 x2y2 等于C 可以在这加上C1 然后两边减去它 但我想 我都说了这么多次了 应该也懂了吧 如果h(y)=C的话 就可以忽略它了 无论怎样 做得足够多了 下个视频再见吧 现在你们知道了不少关于积分因子的知识 再见~