微分处理的代数解释

当你第一次学习微积分的时候, 你学到函数f的导数 可以写成f ' (x)等于 有很多种方法来书写 x趋于0时f (x)的变化量 加上x的变化量, 减去f (x), 除以x的变化量。 你也会学到很多符号来表达. 例如，如果y = f (x), 你可以写成y ', 也可以写成dy/dx, 你经常听到我说它是y的导数. 关于x的导数，你可以 求f关于x的导数, 因为y等于我们的函数。 但是之后当你, 尤其是当你 开始学习微分方程, 人们开始把这个符号 当作一个代数表达式 例如，你会学到或者你可能已经看到了, 如果你想解微分方程, y关于x的导数，等于y 所以变化率y关于x 等于y本身. 这是一个,最基本的微分方程 你可能会看到的. 你会看到这种技术，这时人们会说 “好吧,让我们只是两边同时乘以dx。 只要把dx看成代数表达式就行了. 所以你把两边同时乘以dx, 这样就可以用代数方法消去了, 所以你会看到人们这样对待它。 得到dy = y乘以dx, 然后他们会说,“好让我们两边同时除以y" 这是合理的做法. Y是一个代数表达式。 两边同除以y，得到1 / y dy等于dx. 然后两边积分 求这个微分方程的通解。 但我在这个视频中的重点不是思考 如何解微分方程, 而是考虑一下使用这个概念， 我们称之为微分。 所以dx或dy, 像这样用代数方法来处理, 把它们看成代数表达式, 两边同时乘以dx或dy, 或者两边同时除以dx或dy。 我通常不会这么说，但严格需要显示, 证明在这种情况下这是可以的, 不是一件容易的事情。 所以你可以觉得这样做是合理的, 这有点轻率, 在数学上不是很严格。 但是这已经被证明是一个有用的工具 为我们找到这些解决方案。 从概念上讲，我认为dy, 或者 d-x，是y的极小变化量, 对应于x的极小变化。 这就是极限的定义 告诉我们的。 特别是当x趋于0时, x的变化量非常小, 当Delta x趋于0时。 我们会得到 y的极小变化量。 所以这是一种 让你感觉好一点的方法。 这实际上是其中一个理由 为了使用这种符号. 正如你所看到的，结果的极小的, 或者极小的y变化量是多少, 对于给定的极小的x变化量? 谁让我们明白 斜率的极限是多少? 从割线的斜率 到切线的斜率? 如果你这么看的话，你可能会觉得 用微分, 或者用代数方法创造它们, 更好一些. 两边同时乘以 x的极小变化量. 所以总的来说，这是一种 你会经常看到的技巧. 在微分方程入门课上. 多变量类介绍课程和 微积分介绍课程上。 但它在数学上不是很严格, 把微分当成代数表达式来处理。 但即使它在数学上 不是很精确, 它已被证明是非常有用的。 现在当你的数知识 越来越复杂时, 你会发现微分的 严格定义。 你能更好地理解在哪里 使用它在数学上是严格的, 在什么地方不严格。 但这里的重点是，如果你觉得 边都乘以dx, 或两边都除以dx或dy有点奇怪, 你的感觉在数学上是合理的, 因为这不是一个非常严格的方法。 至少在你有更严格的要求之后. 但我会告诉你，如果你 是学入门的学生，这是合理的 在你们探索和操作 这些基本微分方程的时候。