可分方程（历史版本）

希望大家都已经对微分方程有所了解。 所以，现在让我们来尝试去解决一些。 我要介绍给大家的第一种微分方程叫做 向你介绍，他们叫做分离式微分方程。 我认为你会发现的是我们其实学的 并不是什么新的知识。 只是利用了你第一年微积分中学到的求导和求积分 的技巧，你就可以解决一个分离式微分方程。 我们之所以称之为分离式是因为 我们实际上可以分离出 x 项和 y 项，然后 分别对他们进行积分以获得 微分方程的最终解。 顾名思义，这就是可分离的。 分离式微分方程。 让我们做几个例子，你就会明白了。 这些题目往往更锻炼我们对代数的掌握， 而不是什么其他的新东西。 第一个分离式微分方程是：dy 除以 dx 等于 x 平方除以的 1 减 y 平方的差 其实，现在是时候来复习一下我们的 微分方程术语。 所以首先，什么叫做微分方程 的阶数？ 嗯，这个等式中最高次的导数就是一阶导数， 所以这个等式的阶数是1。 所以等式是一阶的。 这也是常微分方程，因为等式中只有普通的求导， 而没有偏导数。 然后，这个方程是线性的还是非线性？ 嗯，首先你会说，好吧，我觉得，这看起来是线性。 我没有用导数项乘以 任何项。 但是，如果你仔细看一眼，你会 发现一个有趣的事情。 首先，等式中有 y 平方。 y 在这里是因变量。 y 是 x 的函数。 所以 y 平方使得这个等式非线形。 即使这只是一个 y ，如果你在等式两边同时乘以 1-y， 双方这个方程倍 1 减去 y，并获得 我在之前等式中展示过的一种形式，我们将得到 1 减去 y 平方。 这是实际上我们无论如何都要做的 第一步，所以我会写下来。 所以，如果我在等式两边同时乘以 1 减去 y 平方，我们得到 1 减去 y 平方乘以 dy dx 等于 x 平方。 然后你可以看到，即使这里不是 y平方，你也会得到 y 乘以 dy dx， 这样的等式同样是非线性的，因为 我们用因变量乘以 导数项本身。 因此，这也使得此方程为非线性的。 但不管怎么说，我们回到问题上。 这就是第一步。 我将等式两边同时乘以 1 减去 y 平方 而我们的最终目的是将 y 和 x 分离出来， 然后对两边同时进行积分。 我们已经很接近了。 所以现在我想做的就是在等式两边 同时乘以 dx，所以我在这里有 dx， 把这里的 dx 消除掉。 我把它写在这里，我不想浪费太多空间。 所以我们得到 1 减去 y 平方 dy 等于，x 平方 dx。 我已经将两个变量和微分符号 分离了出来。 我做的仅仅是将等式两边 同时乘以 dx。 现在，我只需要对两边积分。 我们来试试。 无论你做等式的一侧进行什么操作，你都需要 对另一边进行一样的操作。 这适用于普通方程以及 微分方程。 所以我们将两边积分。 将这个式子对 y 进行积分，我们得到什么？ 让我们看看。 1 的积分是 y，y 平方的积分是 负 y 的三次方除以 3。 我在这里象征性的写下 +C 但其实你并不需要在两侧同时 写 +C。 因为 y，我在这里写下 加常数（+C） 对 y 的积分。 你永远不会在微积分课上看到这个，但我 想说明一下。 我只是想说 +C 从来没有 在我们传统的求反导数过程中 消除。 这一项的积分是什么？ 是 x 的三次方除以 3。 这里同样会出现 +C 因为变量 x。 现在，我之所以把这一项标记为红色， 是因为我们真的只需要在 等式的一侧写下 +C。 如果大家不是特别懂为什么，我们从等式两边 同时减去 Cy， 我们会得到 y 减去 -- 我们往下一点， 我把 y 写的像 g。 y 减去 y 的三次方除以 3 等于 x 的三次方 除以 3 加上我们对 x 求反导数时得到的常数 减去我们对 y 求反导数时 的常数。 但这两个常量，它们只是常数。 我的意思是，我们不知道它们是什么。 它们可以是任意常数。 所以我们可以只写一个 C。 所以你可能只是 — — 你必须有常数，但是 常数不一定要同时出现在等式的两边，因为 它们都是任意的。 Cx 减去 Cy，嗯，那是仍只是另一个常数。 然后如果我们想要简化这个方程， 我们可以将两边同时乘以 3，只是 使它更好看一点。 我们得到 3y 减去 y 的三次方等于 x 的三次方 加上 — — 好吧，我可以在这里写 3C。 但再说一次，C 是一个任意的常数。 所以 3 倍任意常数，只是另一个 任意常数。 所以我在这里写下 C。 这就行了。 我们已经解决了这个微分方程。 虽然现在还是隐函数的形式，但是 我们很难将它解出来。 我们可以只把 C 放在一侧，这样答案就是 3y 减去 y 的三次方减去 x 的三次方等于 C。 有人可能更喜欢这种形式。 但是这是最后的答案。 注意，方程的解，就像我们求反导数一样， 在这种情况下， 最后的解是一组隐函数。 为什么说它是一组解呢？ 因为我们有个常量。 我们每选择一个常量， 就会产生一个新的解。 但是所有的常数都满足我们 原来的微分方程。 这是最初的微分方程。 如果你想要求出常数，必须 有人给你初始条件。 必须有人说，嗯，当 x 是 2 时，y 是 3。 然后你就可以解出 C。 好吧，让我们做一个给我们初始条件的 微分方程。 这里真的有点乱 — — 我重新写一版。 消除图像，不同颜色，所以我现在有很大的空间。 y 对 x 的一阶导数 等于 3x 的平方加上 4x 加 2 的和除以 2 乘 y 减 1。 这是括号，而不是绝对值。 他们给我们的初步条件。 y 在 x 等于 0 时等于 -1。 所以，一旦我们解出了此微分方程， 我们会得到一个可分离微分方程，然后我们 可以使用此初始条件，当 x 为 0 时，y 是 -1 来找出该常数。 所以我们先对这个等式进行分离。 两边同时乘以 2 乘 y 减 1的差。 我们得到 2 乘以 y 减 1 乘以 dy dx 等于 3x 的平方加上 4x 加 2。 两边再同时乘以 dx。 这真的只是一个代数练习。 我可以把括号展开，得到 2y 减去 2， 然后只剩下 dy。 两边同时乘 dx，得到 3 倍 x 的平方 加上 4x 加 2 dx。 我已经将方程分离了。 把自变量和因变量以及求导符号 分离了出来，因此现在我开始 可以进行积分。 我用红色来写积分。 什么是此表达式对y的 反导数？ 我们看看。 是 y 平方减去 2y。 我不会在这写+C，我会在等式 的右边加上。 等于 3 倍 x 的平方。 这边的反导数是 x 的三次方，加上 2x 的平方，加上 2x 加 C。 这里的 C 同时代表了等式两边的常数， 希望你明白从上一个例子里理解了 我这样写的原因。 然后我们可以用 y 当 x 等于 0 时等于 -1 这个初始条件 来解出常数C。 我们看看。 当 x 为 0 时，y 是负 1。 现在，让我们把 y 设为负 1，所以我们得到负 1 的平方 减去 2 乘负 1，这时 y 的值 是当 x 等于 0时的值。 所以当 x 等于 0 时，这是 0 到三次方加 2 乘以 0 的平方加 2 倍的 0 加 C。 所以这是相当简单的。 所有的这些，都是 0。 看看，-1的平方是 1。 减去 2 乘以 -1，也就是加2， 等于C。 我们得到 C 等于 3。 所以，得到的精确隐方程是这个微分方程的最终解 — — 记住，它不是再是一组解， 因为题目给了我们一个初始的条件 — — 最终解是 y 平方减去 2y 等于 x 的三次方加上 2x 平方 加上 2x 加 3。 我们想办法得到了C的解。 其实，如果需要，我们可以把这个解通过开方 写成显方程的形式。 剩下的仅仅是代数了。 你就完成了这道题了。 这是隐函数的形式。 如果你想要得到显函数的形式，可以在等式两边 同时加 1。 我只是想把平方和构建出来。 所以 y 平方减去 2y 加 1。 如果将 1 添加到这一边，我也要在另方面加 1， 等于 x 的三次方加 2x 平方 加 2x 加 4。 我只是给方程两边的同时加 1。 我为什么这么做呢？ 因为我希望能构建出一个 包含 y 的完全平方。 然后我可以把这边重写成 y 减去 1 的平方等于 x 的三次方加 2x 的平方加 2x 加 4。 然后我可以说 y 减 1 等于加减 x 的三次方加 2x 的平方加 2x 加 4 的开方。 我在等式两边同时加 1， 我们得到 y 等于 1 加减 x 的三次方加 2x 的平方加 2x 加4 的开方。 这里同时有加减号，如果我们要选一个， 我们需要重新回到初始条件。 好吧，初始条件告诉我们，y 在 x 等于 0 时 为负 1。 因此，如果我们把这里 x 代入 0，我们得到 y 等于 1 加减 0 加 4。 所以 1 加上或减去根号 4。 所以，如果 y 等于负 1，y 就 等于 1 加减-抱歉，2。 如果答案是 -1， 就必须是 1 减 2。 所以满足我们初始条件的显性表达形式是， 我们开始变得有点书呆子， 我们把加号去掉，答案是 1 减去这整个表达式。 它满足了我们的初始条件。 我们也可以找出这个解的满足条件的区间， 它的定义域。 好，当这个表达式为正的时候，这个解满足所有条件。 如果它是负的，这整个项将无法被在实数范围内定义， 等等。 但不管怎么说，我也没有时间了。 下次见。