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主要内容

可分方程(历史版本)

可分离微分方程的一个历史版本的介绍视频。 Sal Khan 创建

视频字幕

希望大家都已经对微分方程有所了解。 所以,现在让我们来尝试去解决一些。 我要介绍给大家的第一种微分方程叫做 向你介绍,他们叫做分离式微分方程。 我认为你会发现的是我们其实学的 并不是什么新的知识。 只是利用了你第一年微积分中学到的求导和求积分 的技巧,你就可以解决一个分离式微分方程。 我们之所以称之为分离式是因为 我们实际上可以分离出 x 项和 y 项,然后 分别对他们进行积分以获得 微分方程的最终解。 顾名思义,这就是可分离的。 分离式微分方程。 让我们做几个例子,你就会明白了。 这些题目往往更锻炼我们对代数的掌握, 而不是什么其他的新东西。 第一个分离式微分方程是:dy 除以 dx 等于 x 平方除以的 1 减 y 平方的差 其实,现在是时候来复习一下我们的 微分方程术语。 所以首先,什么叫做微分方程 的阶数? 嗯,这个等式中最高次的导数就是一阶导数, 所以这个等式的阶数是1。 所以等式是一阶的。 这也是常微分方程,因为等式中只有普通的求导, 而没有偏导数。 然后,这个方程是线性的还是非线性? 嗯,首先你会说,好吧,我觉得,这看起来是线性。 我没有用导数项乘以 任何项。 但是,如果你仔细看一眼,你会 发现一个有趣的事情。 首先,等式中有 y 平方。 y 在这里是因变量。 y 是 x 的函数。 所以 y 平方使得这个等式非线形。 即使这只是一个 y ,如果你在等式两边同时乘以 1-y, 双方这个方程倍 1 减去 y,并获得 我在之前等式中展示过的一种形式,我们将得到 1 减去 y 平方。 这是实际上我们无论如何都要做的 第一步,所以我会写下来。 所以,如果我在等式两边同时乘以 1 减去 y 平方,我们得到 1 减去 y 平方乘以 dy dx 等于 x 平方。 然后你可以看到,即使这里不是 y平方,你也会得到 y 乘以 dy dx, 这样的等式同样是非线性的,因为 我们用因变量乘以 导数项本身。 因此,这也使得此方程为非线性的。 但不管怎么说,我们回到问题上。 这就是第一步。 我将等式两边同时乘以 1 减去 y 平方 而我们的最终目的是将 y 和 x 分离出来, 然后对两边同时进行积分。 我们已经很接近了。 所以现在我想做的就是在等式两边 同时乘以 dx,所以我在这里有 dx, 把这里的 dx 消除掉。 我把它写在这里,我不想浪费太多空间。 所以我们得到 1 减去 y 平方 dy 等于,x 平方 dx。 我已经将两个变量和微分符号 分离了出来。 我做的仅仅是将等式两边 同时乘以 dx。 现在,我只需要对两边积分。 我们来试试。 无论你做等式的一侧进行什么操作,你都需要 对另一边进行一样的操作。 这适用于普通方程以及 微分方程。 所以我们将两边积分。 将这个式子对 y 进行积分,我们得到什么? 让我们看看。 1 的积分是 y,y 平方的积分是 负 y 的三次方除以 3。 我在这里象征性的写下 +C 但其实你并不需要在两侧同时 写 +C。 因为 y,我在这里写下 加常数(+C) 对 y 的积分。 你永远不会在微积分课上看到这个,但我 想说明一下。 我只是想说 +C 从来没有 在我们传统的求反导数过程中 消除。 这一项的积分是什么? 是 x 的三次方除以 3。 这里同样会出现 +C 因为变量 x。 现在,我之所以把这一项标记为红色, 是因为我们真的只需要在 等式的一侧写下 +C。 如果大家不是特别懂为什么,我们从等式两边 同时减去 Cy, 我们会得到 y 减去 -- 我们往下一点, 我把 y 写的像 g。 y 减去 y 的三次方除以 3 等于 x 的三次方 除以 3 加上我们对 x 求反导数时得到的常数 减去我们对 y 求反导数时 的常数。 但这两个常量,它们只是常数。 我的意思是,我们不知道它们是什么。 它们可以是任意常数。 所以我们可以只写一个 C。 所以你可能只是 — — 你必须有常数,但是 常数不一定要同时出现在等式的两边,因为 它们都是任意的。 Cx 减去 Cy,嗯,那是仍只是另一个常数。 然后如果我们想要简化这个方程, 我们可以将两边同时乘以 3,只是 使它更好看一点。 我们得到 3y 减去 y 的三次方等于 x 的三次方 加上 — — 好吧,我可以在这里写 3C。 但再说一次,C 是一个任意的常数。 所以 3 倍任意常数,只是另一个 任意常数。 所以我在这里写下 C。 这就行了。 我们已经解决了这个微分方程。 虽然现在还是隐函数的形式,但是 我们很难将它解出来。 我们可以只把 C 放在一侧,这样答案就是 3y 减去 y 的三次方减去 x 的三次方等于 C。 有人可能更喜欢这种形式。 但是这是最后的答案。 注意,方程的解,就像我们求反导数一样, 在这种情况下, 最后的解是一组隐函数。 为什么说它是一组解呢? 因为我们有个常量。 我们每选择一个常量, 就会产生一个新的解。 但是所有的常数都满足我们 原来的微分方程。 这是最初的微分方程。 如果你想要求出常数,必须 有人给你初始条件。 必须有人说,嗯,当 x 是 2 时,y 是 3。 然后你就可以解出 C。 好吧,让我们做一个给我们初始条件的 微分方程。 这里真的有点乱 — — 我重新写一版。 消除图像,不同颜色,所以我现在有很大的空间。 y 对 x 的一阶导数 等于 3x 的平方加上 4x 加 2 的和除以 2 乘 y 减 1。 这是括号,而不是绝对值。 他们给我们的初步条件。 y 在 x 等于 0 时等于 -1。 所以,一旦我们解出了此微分方程, 我们会得到一个可分离微分方程,然后我们 可以使用此初始条件,当 x 为 0 时,y 是 -1 来找出该常数。 所以我们先对这个等式进行分离。 两边同时乘以 2 乘 y 减 1的差。 我们得到 2 乘以 y 减 1 乘以 dy dx 等于 3x 的平方加上 4x 加 2。 两边再同时乘以 dx。 这真的只是一个代数练习。 我可以把括号展开,得到 2y 减去 2, 然后只剩下 dy。 两边同时乘 dx,得到 3 倍 x 的平方 加上 4x 加 2 dx。 我已经将方程分离了。 把自变量和因变量以及求导符号 分离了出来,因此现在我开始 可以进行积分。 我用红色来写积分。 什么是此表达式对y的 反导数? 我们看看。 是 y 平方减去 2y。 我不会在这写+C,我会在等式 的右边加上。 等于 3 倍 x 的平方。 这边的反导数是 x 的三次方,加上 2x 的平方,加上 2x 加 C。 这里的 C 同时代表了等式两边的常数, 希望你明白从上一个例子里理解了 我这样写的原因。 然后我们可以用 y 当 x 等于 0 时等于 -1 这个初始条件 来解出常数C。 我们看看。 当 x 为 0 时,y 是负 1。 现在,让我们把 y 设为负 1,所以我们得到负 1 的平方 减去 2 乘负 1,这时 y 的值 是当 x 等于 0时的值。 所以当 x 等于 0 时,这是 0 到三次方加 2 乘以 0 的平方加 2 倍的 0 加 C。 所以这是相当简单的。 所有的这些,都是 0。 看看,-1的平方是 1。 减去 2 乘以 -1,也就是加2, 等于C。 我们得到 C 等于 3。 所以,得到的精确隐方程是这个微分方程的最终解 — — 记住,它不是再是一组解, 因为题目给了我们一个初始的条件 — — 最终解是 y 平方减去 2y 等于 x 的三次方加上 2x 平方 加上 2x 加 3。 我们想办法得到了C的解。 其实,如果需要,我们可以把这个解通过开方 写成显方程的形式。 剩下的仅仅是代数了。 你就完成了这道题了。 这是隐函数的形式。 如果你想要得到显函数的形式,可以在等式两边 同时加 1。 我只是想把平方和构建出来。 所以 y 平方减去 2y 加 1。 如果将 1 添加到这一边,我也要在另方面加 1, 等于 x 的三次方加 2x 平方 加 2x 加 4。 我只是给方程两边的同时加 1。 我为什么这么做呢? 因为我希望能构建出一个 包含 y 的完全平方。 然后我可以把这边重写成 y 减去 1 的平方等于 x 的三次方加 2x 的平方加 2x 加 4。 然后我可以说 y 减 1 等于加减 x 的三次方加 2x 的平方加 2x 加 4 的开方。 我在等式两边同时加 1, 我们得到 y 等于 1 加减 x 的三次方加 2x 的平方加 2x 加4 的开方。 这里同时有加减号,如果我们要选一个, 我们需要重新回到初始条件。 好吧,初始条件告诉我们,y 在 x 等于 0 时 为负 1。 因此,如果我们把这里 x 代入 0,我们得到 y 等于 1 加减 0 加 4。 所以 1 加上或减去根号 4。 所以,如果 y 等于负 1,y 就 等于 1 加减-抱歉,2。 如果答案是 -1, 就必须是 1 减 2。 所以满足我们初始条件的显性表达形式是, 我们开始变得有点书呆子, 我们把加号去掉,答案是 1 减去这整个表达式。 它满足了我们的初始条件。 我们也可以找出这个解的满足条件的区间, 它的定义域。 好,当这个表达式为正的时候,这个解满足所有条件。 如果它是负的,这整个项将无法被在实数范围内定义, 等等。 但不管怎么说,我也没有时间了。 下次见。