拉普拉斯变换求解方程2

欢迎回来 我们终于要把 拉普拉斯变换用到有用的地方了 这个问题的第一部分里 我们有这么一个比较直接的微分方程 我知道现在你们会觉得很烦人 你们大概会想 这个问题 用特征方程来解简单得很 我们为什么要用拉普拉斯变换 这个 我只是想告诉你们 它们用来解这些方程也可以 不过稍后我们会遇到其他的问题 坦承地说 传统的方法 比不上拉普拉斯变换那么好 不管那么多了 我们怎么解这个方程 我们已经对方程两边 作了拉普拉斯变换 我们得到这一堆可怕的东西 我们用到了导数的拉普拉斯变换的性质 对导数作变换 可以得到 其实是做了一大堆演算以后 得到这个 我们得到 L等于这个东西 我们只是对两边作了拉普拉斯变换 然后做了一些代数推导 我们这个视频的任务就是找出 什么样的L等于这个东西 其实我们想做的事情 是对方程两边 作拉普拉斯逆变换 换个说法 我们可以说y... 如果我们对方程两边作拉普拉斯逆变换 我们可以说 y等于 这个东西的拉普拉斯逆变换 即(2s+13)/(s2+5s+6) 现在 我们终于要学到 拉普拉斯逆变换的正式定义了 我们是如何从s域变到t域？ 或者说 如何从频率域变换到时间域？ 我们暂且不要操心这个 我们要做的是把这堆东西 变形成我们认得的形式 然后说 哦 我知道有这样的函数 它的拉普拉斯变换是什么什么 然后我们就知道 y是什么了 我们试着做做看 我们这里用到的东西 你可能自从代数二以后就一直没用过 我猜是那时候教的吧 不管是八年级 还是九年级、十年级学的 大家终于能看到在求解微分方程的时候 拉普拉斯变换是有用的 我写一下 我们要利用部分分式展开 我会做一点稍微详细些的推导 你们搞忘了也无所谓 不管了 先把这下面的部分分解一下 大家会看出我是怎么做的 把分母因式分解 得到(s+2)(s+3) 我们要做的 是把这个分式表示成两项... 大概应该叫部分分式...的和 这也是部分分式这个名称的来由 所以我们想把它写成 A/(s+2)。。。 +加B/(s+3) 如果我们能这样拆开的话 大概大家脑袋上方 已经灯泡一亮 我们知道这些东西长得像 我们已经推导过的 拉普拉斯变换 我稍后就回顾一下相关内容 不过 我们怎么找出A和B呢？ 如果我们真的把A和B写上去 如果。。。 我们在旁边写一下 如果我们说A... 如果我们作个通分 也就是(s+2)(s+3) 那么A化成了什么？ 就要乘上(s+3) 对吧？ 我们得到As+3A 我写的这个东西 和A/(s+2)是一样的 你可以同时消去分子分母的(s + 3) 现在我们把B也添上 也就是加... 我换个颜色 加。。。 如果我们的分母是这个 我们可以把分子分母 同时乘以(s+2) 对吧? 得到Bs+2B 也就等于这个 我做的只是把两个分数相加 没什么了不起的 代数二的内容 其实 我想我也应该 做个视频讲这个 不过它等于这个 即(2s+13)/(s+2)(s+3) 注意在所有微分方程中 最艰巨的部分总是代数 现在我们要做的就是比较 我们说 把s项相加 我们可以说 两边分子必须相等 因为分母是相等的 我们得到 (A+B)s+3A+2B=2s+13 所以 右边s的系数是2 左边的系数是A+B 所以我们得到 A+B=2 然后 再看右边 我们得到 3A+2B必须等于。。 13 我刚才说B了吗？ 这是13 是13 它看起来还挺像B的 对吧？ 这是2s+13 总之 右手边我得到 3A+2B等于13 我们有两个方程 两个未知数 我们得到什么 我知道这很累人 不过到了最后 会很有满足感的 因为你真的利用 拉普拉斯变换解出了什么东西 我们把上面的方程乘上2 或者说-2 我们得到 -2A-2B=-4 然后我们得到... 把两个方程相加 得到A等于。。。 这些项消掉了 A=9 很好 如果A=9 B等于什么呢？ B等于 9加什么东西 等于2 或者说 2-9=-7 我们做了些实实在在的化简 因为现在我们可以把方程改写为 y的拉普拉斯变换 等于A/(s+2)。。。 也就是 9/(s+2)-7/(s+3) 换种方式来写 我们可以写成 即9・1/(s+2)-7・1/(s+3) 为什么我要自找麻烦这么做了？ 我是希望你能认出这是 我们求出的第二个拉普拉斯变换 那是什么？ 我把它写下来 你们就记得了 e^(at)的拉普拉斯变换 等于1/(s-a) 这是我们求出的第二个拉普拉斯变换 这就有趣了 这是什么的拉普拉斯变换 如果我们要作拉普拉斯逆变换 我还是接着用习惯的说法 这表示这是y的拉普拉斯变换 等于9倍的什么东西的拉普拉斯变换 我们来找找对应 如果这是s-a 那么a=-2 所以是9倍的 e^(-2t)的拉普拉斯变换 明白了不？ 取这项代入这个 我们证过的 就得到1/(s + 2) 我清一下屏 我需要点地方 我写一下 我把这个留下来 因为我们还要用 然后我们有-7倍的。。。 这是什么东西的拉普拉斯变换 这是e^(-3t)的拉普拉斯变换 这就是对应比较 大家看了大概会想 哇 回去查查拉普拉斯变换表 如果你不记得的话 然后你看到这个 会想 哇 看起来长得好像 我只需要找出a是什么就行了 我有s+3 又有s-a 所以这次a=-3 如果a=-3 它就是e^(-3t)的拉普拉斯变换 现在我们可以作拉普拉斯逆... 实际上 我们在这样做之前 我们知道 因为拉普拉斯变换是线性算子 实际上现在我可以擦掉这个 我们知道拉普拉斯变换 是线性算子 所以我们可以这样写 通常你不需要做遍所有的步骤 我只是想让你们弄懂我们在干啥 我们可以说 这和9e^(-2t)-7e^(-3t) 的 拉普拉斯变换是一个东西 现在我们得出一些有趣的东西 y的拉普拉斯变换 等于这个的拉普拉斯变换 这样y就必须 等于9e^(-2t)-7e^(-3t) 我未曾证明 但拉普拉斯变换确是一一对应的变换 即如果一个函数的拉普拉斯变换 我取一个函数的拉普拉斯变换 再作拉普拉斯逆变换 得到的 以已知的这个为拉普拉斯变换的函数 只能是原函数 不会出现两个不同的函数 有相同的拉普拉斯变换 总之 这里有很多东西值得思考 注意 我们在求解过程中 类似特征方程的东西多次出现 我们还要解一个 含两个未知数的两个方程组成的方程组 这些是我们在用传统的特征方程法 解初值问题的时候 先后需要处理的东西 在这里 我们同时遇到了 坦白地说 这种方法还更艰巨一些 因为我们要做部分分式分解 不过结果很不错 拉普拉斯变换给我们带来一些有用的东西 下个视频里我会做一个非齐次方程 展示一下拉普拉斯变换 同样很好使 所以它可以说是 一种求解微分方程的 比较通用的理论 不需要猜解 求解系数什么的 下个视频见