拉普拉斯变换求解方程

我已经用了一推视频 解释了拉普拉斯变换的原理 不过在讲解中 你们一直干坐着在想 我学这个干嘛 现在我展示给你们看 至少是在微分方程的领域内的用途 还有拉普拉斯变换涉及了 一大堆的字母 这有什么含义？ 等等 这些都是很好的问题 值得大家好好探究 拉普拉斯变换在微分方程方面的应用 直观理解是困难的 但是它是一个非常有用的工具 能把微分或积分问题转化为代数问题 给大家一点提示 如想找一个理解它的方法 你应该学一下傅里叶级数和傅里叶变换 它们和拉普拉斯变换很类似 理解了傅里叶变换 大家就能对 频率域的内涵有一点感受 总之 我们来实际地应用拉普拉斯变换 来求解微分方程 这个方程我们以前见过 我看一下 我们说 微分方程 y''... 加5y' 加6y 等于0 大家知道怎么解这个方程 但我想向大家演示 利用一个比较直截了当的微分方程的例子 来应用拉普拉斯变换求解 实际上 最后我们得到 一个特征方程 初值条件为y(0)=2 y'(0)等于3 现在 我们来用拉普拉斯变换 我们只须对方程两边 同时作拉普拉斯变换 我用个骚点的颜色 我们得到y''的拉普拉斯变换 加上。。。是5y'的拉普拉斯变换 那其实就是 y'的拉普拉斯变换的5倍 加上6倍的L 问大家一个问题 0的拉普拉斯变换等于多少? 我来算一下 0的拉普拉斯变换等于 0到无穷的 ∫0e^(-st)dt 这是一个0 所以这等于0 0的拉普拉斯变换等于0 这很好 因为我已经没地方再写一个花写L了 这些东西的拉普拉斯变换是什么呢？ 是时候拿出我们学过的 一个有用的性质了 我在这儿写一下 我想这需要 尽量多腾点地方 我把这擦了 我们学过拉普拉斯变换... 我在这儿写一下 额 写在下面吧 f'的拉普拉斯变换 我们甚至可以说是y' 等于s倍的L 减去y(0) 我们已经证过了 这个很重要 必须知道 我们看看能不能用上 所以L 如果我们用这个性质 就等于s倍的拉普拉斯。。。 额 如果我们把y'化成 y 只是取一下原函数 那么如果要取 y''的原函数 我们得到y' 还要减去y'(0) 注意 我们已经在应用初值条件了 我只是先不把它代入而已 最后是+5... 我不辞劳苦地重复写 +5倍的L +6倍的L 这整块等于0 搞清楚了 这只是利用这个性质 把原式展成这样 y'的拉普拉斯变换 又可以写成什么呢？ 我们可以再用一次这个性质 来算一下 这个式子 我用紫色写一下 这个等于 s倍的什么呢？ s倍的L 即s倍的L 减y(0) 对吧？ 我取了这一项 然后用 括号里的这堆代替 所以 -y'(0) 再换个颜色 加5倍的。。。 又是y'的拉普拉斯变换 我们再利用这个式子 所以5s*(L-y(0)) 加上6倍的拉普拉斯... 噢我没位置了 我换一行写 加上6倍的L 整块等于0 我知道这看起来很乱 我们现在就来化简它 现在我们可以不管这个了 因为我们已经压榨完了它的使用价值 现在我们只管化简 注意 利用拉普拉斯变换 我们不需要猜解 一个通解什么的 即便我们用特征方程法的时候 我们也要猜测一开始的通解是什么形式 现在我们只需要做拉普拉斯变换 看看得到什么就是了 其实 我只是想说清楚 我知道这很容易搞糊涂 所以我把这块重新写成这样了 这块 写成这样 其他的东西都是完全一样的 现在我们来化简吧 我们得到 s2倍的L 我吸取教训写小一点 减去s倍的y(0) 我们把y(0) 代入y(0)=2 所以s倍的y(0) 等于 2s 所以2s。。。 把s乘进去了 减y'(0) y'(0)=3 所以减3 加上。。。 我们有5s倍的L 所以加上5s倍的L 减5y(0) y(0)=2 所以减10 减10 对吧？ 5倍的... 这是2 所以5×2 加上6倍的L 整块等于0 我们合并一下 y的拉普拉斯变换项 和常数项 希望我们还有空地儿 我们看看 y的拉普拉斯变换 这个 这个 还有这个 我还剩下什么呢？ 我对L提出来 得到L... 这样做有个好处 就是省麻烦 老是写这个太累了 ... 乘上s2+5s+6 这就是全部拉普拉斯变换的项 然后我还有常数项 我看看s... 减2s -3-10 等于0 现在我们能做什么呢？ 首先 这里很有趣 注意到 L的系数 和特征方程的系数 我们处理过很多特征方程了 我希望 大家依稀感觉有点类似 这是一点小小的线索 如果你要寻找一些牵强的联系的话 其实这是有道理的 因为为了导出特征方程 我们代入了e^(-st) 而拉普拉斯变换涉及一个相似的函数 不管怎样 我们回到这个问题上来 我们怎么解这个方程 其实让我先跟大家说明一下大的方向 这是一个很好的想法 我准备这样来求解 我说 y的拉普拉斯变换 等于某个东西 然后我要说 老兄 什么函数的拉普拉斯变换是这个东西呢？ 然后我就能得出解 如果你觉得疑惑 先等等 稍后就明白了 从现在到能解释清楚为止 我们先来算一些比较吓人的运算 我往下滚动一点 留一点儿喘息的空间哈 我得到 L 乘以 s2... +5s+6等于... 在方程两边 同时加上这些项 等于2s +3+10 这有点蠢了 就是+13嘛 这是-13 一个电话 谁打来了 估计是卖广告的 不管它 2s+13 现在我能干什么？ 这个 我们两边除以(s2+5s+6) 得到y的拉普拉斯变换 等于(2s + 13)/(s2 + 5s + 6) 我们马上要解出来了 这全部都只是一点简单的代数 我们快要解完了 我们还没把y解出来 但是我们知道 L等于这个 现在 如果拉氏变换表里有这个的话 我们立即就知道 y等于什么了 但我没有见到呀 或者我不记得 我们推导过表格里的一个 长得正好像这个s的表达式 其实我超时了 下个视频 我们来求出 到底什么函数的拉普拉斯变换是这个 实际上 它是我们已知的一些东西的和 我们只需要做一点代数的推导 下个视频见