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主要内容

cos t和多项式的拉普拉斯变换

视频字幕

上个视频里 我们证明了 f'(t)的拉普拉斯变换等于 s倍的L 减去f(0) 现在 我们要做的事情 就是利用这个我们已经证实的性质 来继续充实我们的 拉普拉斯变换表 这些结果你们迟早要记忆的 如果你常用拉普拉斯变换的话 我们已经学过 sin at的拉普拉斯变换等于。。。 我们用了一个非常繁琐的 分部积分证明了 它等于a/(s2 + a2) 我们来用这两个结果推导 cos at的拉普拉斯变换 那么cos at的拉普拉斯变换 等于什么呢? 如果我们假定cos at 是某个函数的导数 它会是谁的导数呢? 是吧? 我在边上算一下 如果 f'(t) = cos at 那么f(t)可能是什么呢? 这是个原函数 我们先把常数忽略掉 只要得到一个符合条件的nf(t) 就可以了 cos的原函数是什么呢? 是(1/a)sin at 对吧? 所以如果这是f'(t) 那么它等于 s倍的 它的原函数的拉普拉斯变换 或者说(1/a)sin at 减去原函数在0处的值 -1/a sin。。。 a倍的0是0 因为sin 0 = 0 所以整项就消去了 这是一个常数 对吧? 这是 1/a 而且我们证明了拉普拉斯变换 是一个线性算子 所以可以把它提出来 所以它等于s/a倍的 sin at的拉普拉斯变换 等于s/a倍的a/(s2 + a2) a消去了 这算起来比用分部积分 要简单多了 然后我们得到cos at的拉普拉斯变换 等于s/(s2 + a2) 不消三分钟 我们就填入了一个 拉普拉斯变换 现在已经有两个最重要的三角函数的变换式了 继续努力 我们没怎么算过多项式 我们知道一些结果 这个我们是做过的 我们知道1的拉普拉斯变换 等于1/s 我们看看能不能用这个 以及f'的拉普拉斯变换 等于s倍的f的拉普拉斯变换 减 f(0) 换种方式 我们换个角度想 如果我们知道f 我们怎么去 用f'和 f(0) 去得到一些别的拉普拉斯变换 我们把方程变个形 得到f'的拉普拉斯变换 我可以写上t 不过太单调了 加f(0) 等于 s倍的L 两边除以s 我把拉普拉斯... 写到边上去 我想拉普拉斯变换。。。 我的L越写越飘逸了 f的拉普拉斯变换 等于1/s 我在两边除了s 即1/s倍 乘上导数的拉普拉斯变换 加上函数在0的值 我们看看能不能用这两个 推出一些更重要的拉普拉斯变换 如果f(t)=t 其拉普拉斯变换是啥呢? 就利用这个性质 这要等于 1/s倍的导数的拉普拉斯变换 t的导数是什么? t的导数是 1 所以它等于 L-f(0) 当t=0时 这项为0 减0 所以t的拉普拉斯变换等于 1/s倍的L 就是1/s 即1/s2 - 0 很有趣 1的拉普拉斯变换是1/s t的拉普拉斯变换等于1/s2 我们来求一下L等于多少 我用绿色来写 或许我们看出规律来 t2 的拉普拉斯变换 等于1/s倍的 它的导数的拉普拉斯变换 它的导数是什么呢? 它乘 加上0处的值 也就是0 所以它等于。。。 我们可以把常数拿出来 等于2/s倍的L 这又等于什么? 我们刚刚解出来了 是1/s2 所以它等于 2/s・1/s2 也就是2/s3 太好了 我再算个t3吧 我想大家就能看出规律了 规律马上就要出现 拉普拉斯变换 这其实很有趣的 我推荐大家都算算 这会让你很满足的 这比分部积分满足感要多得多 所以 t3的拉普拉斯变换等于 1/s倍的导数的拉普拉斯变换 也就是3t2的 把常数提出来 因为它是线性的 3/s倍的L 这等于多少? t2的拉普拉斯变换等于多少? 等于2/s3 所以这等于3*2 除以s^4 你可以在这儿写上t^n 然后用 归纳法得出一般的公式 一般公式就是 我想大家看出规律来了 幂指数是多少? 拉普拉斯变换 就是分母上 s的高一次幂 分子是指数的阶乘 一般地 我们又得到了拉普拉斯变换表的一个 t^n的拉普拉斯变换 等于n!/s^(n+1) 括号 我想我都没必要打括号 打括号只是弄得更乱了 不管咋滴 在拉普拉斯变换表中看到这个 看起来很吓人的 天哪! 这有个n 还有个n! 但我们说 利用我们得到的规律 t的3次方 加一次方 也就是s^4 写在分母上 然后分子取3的阶乘 就是6 对吧? 解完 所以利用拉普拉斯变换的导数性质 我们算出了cos at的拉普拉斯变换 也算出了任意多项式的拉普拉斯变换 对吧? 因为这是个线性算子 现在我们知道了t^n t的任意次幂的 可以乘一个系数 我们还知道基本的三角函数 知道指数函数 也知道如何求多项式的拉普拉斯变换了 下个视频见