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特征方程的重根

当特征方程只有一个重根时,会发生什么?. Sal Khan 创建

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我们说我们有如下的 二阶微分方程 我们有 y''... 加 4y'... 加 4y = 0 现在我们要求出 微分方程的通解 我们要做的第一件事情 就像前几次视频里做的一样 我们写出特征方程 即 r2 + 4r + 4 = 0 这个方程很容易因式分解 我们根本不需要动用求根公式 这就是 (r + 2)(r + 2) 现在有趣的事情发生了 这事儿我们之前没见过 特征方程的两根 是同一个数 r = -2 所以你可以说 我们只有一个解 或者说一个根 或者说重根 随便你怎么讲 意思就是只有一个r值 满足特征方程 你可能说 没什么大不了的 我的通解应该是 y = 某常数倍的 e^(-2x) 就用这一个根导出来 我的回答是 这的确是一个解 如果你不信的话可以试一下 但这不是通解 为什么我这样说呢? 因为这是一个二阶微分方程 如果谁想求出特解 他必须给出两个初始条件 目前我们用的初始条件是 y(0) 等于什么 y'(0) 等于什么 或者也可以给定 y(5) 的值 谁知道呢? 总的来说 当你有一个 二阶微分方程的时候 必须用两个初始条件确定特解 现在这个解的问题是 或者说它不是通解的原因 是如果你运用其中一个初始条件 你可以解出一个 c 对吧? 你可以得到一个答案 你能把 c 解出来 但是这就和 第二个初始条件毛关系没有 实际上 除了特殊情况以外 无论你用第一个初始条件求得的 c为多少 它不会是 额 这个方程一定不会 对第二个初始条件成立 你可以试一下 意思是 如果说 令y(0) = A y'(0) = 5A 我们看看能不能求出来 如果 y(0) = A 这意味着 A 等于 c e^(-2*0) 即 e^0... 也就是 c = A 对吧? 所以如果你想用第一个初始条件 那好 我的特解为 y等于A e^(-2x) 我们来看看这个特解是否满足 第二个初始条件 这个式子的导数等于多少? y' 等于 -2A e^(-2x) 它说这个等于 5A 初始条件说 5A 等于 -2A e ^... (-2*0) 嗯 e^0 换句话说 e^0 = 1 它说 5A = -2A 我们知道这肯定不对 所以注意 如果我们只求出这个“通解” 或者说“伪通解” 它只能满足 一个初始条件 通常都是这样的 如果我们足够幸运的话 也许能满足两个 这多多少少给了大家一点直观认识 明白为什么它不是通解 我把屏幕擦一擦 我感觉我要强征这块地了 我们应该怎么做 我们需要用到一种方法 叫做“降阶法” 这种方法是说 额我们先猜出另一个解吧 通常当我们开始思考这样的 线性常系数微分方程的时候 我们说 嗯 e^(rx) 应该是一个合理的猜测 为什么呢? 因为 e 的各阶导数都等于 原函数的若干倍 这正是我们利用的性质 所以我们在找出第二个解的时候 继续猜想一下也无妨 为了让讨论更具一般性 我们设猜解的第二个解为 我把它叫做 g 表示猜想 (guess) 我们说它是 x 倍的第一个解的函数 即e ^(-2x) 我说那是某个函数 等于 x c e ^... (-2x) 不过这里的 c的含义比较模糊 它可能是这个x的某函数的一部分 我们讲得尽可能一般一些 我们假设这是一个解 并把它代回到 原微分方程中去 看看我们能不能解出这个 v 完成我们的猜想 在我们正式计算之前 先把它的一阶导和二阶导都求好 g 的一阶导数为 乘法法则哈 我把 v(x) 直接写成 v 我们知道 v是一个函数 不是常数 乘法法则 先求前项的导数 v' 乘后项 e^(-2x) 加上前一个函数 或者说表达式 乘后项的导数 即 -2e^(-2x) 整理一下 g' 为 v'e^(-2x) 减去 2v e ^ (-2x) 现在我们求二阶导 换个颜色先 别搞得那么单调 二阶导数 我们再次应用乘法法则 先把前面这块求个导 等于 v'' e ^(-2x) 减 2v' e ^ (-2x) 再次应用乘法法则 然后后面这块的导数 等于 我看哈 前项导数是 v'... 所以是 -2v e^(-2x)... 加 4v e^(-2x) 我希望没有粗心算错 我们可以把这化简一下 现在我们求出了 g 的二阶导数 g 是我们猜测的解 二阶导等于 v''... e^(-2x) - 2v' 额不 -4 因为我们有 -2 再 -2 即 -4v'e^(-2x) 加 4v e^(-2x) 现在 在我们代入之前 我们先作个观察 有助于简化代数运算 注意到 g是e^(-2x) 的若干倍 g' 是我们把 e^(-2x) 提出来 而 g'' 呢? 同样把 e^(-2x) 提出来 就把它们都提出来吧 所以当我们回代方程时 我们可以这样写 二阶导数是 g'' 我们可以写成 我现在就直接这么写 为e^(-2x)*(v''... 现在我们可以扔掉 e^(-2x) 项了 所以就是 v'' - 4v' + 4v 对吧? 我把指数项提出 二阶导数就写成这样 加上四倍的一阶导数 同样的 我把 e^(-2x) 提出来 所以加四倍的这个东西 那就是 + 4v' - 8v 对吧? 我再次提出了 e^(-2x) 对吧? 加上4y 我们把 e^(-2x) 提出来 所以 + 4v 我这么做是因为避免 老带着e^(-2x) 搞不好就写错了 其实我也没地方了 还有...嗯嗯 反正得出这个式子 我只是代入了二阶导数 一阶导数 和 g 到微分方程里面 我们知道这个等于 0 我们看看能不能 进一步化简 顺便还解出 v 来 我们看看 有些东西是很显然的 我们有 + 4v + 4v 所以是 +8v 然后-8v 对吧? +4-8+4 它们消掉了 +8-8 互相抵消 我们还有 -4v'+4v' 这也消掉了 哎呦喂呀 我们还结结实实地化简了一把 最后得到 e^(-2x)(v''... 或者说 v''(x) 现在地方可就充足了 ...= 0 我们知道这个恒不等于 0 所以 我们得出了 这个表达式必须为 0 我们得到一个新的 二阶微分方程 我们得到v关于x的二阶导数 它也是x的一个函数 等于0 现在我们只需要对两边 同时积分两次 积分一次得到什么 v'(x) 等于。。。 我们叫做c1吧 现在如果我们再对两边 求原函数 我们就得到 v(x) = c1 x + c2 对吧? 回忆一下 我们的猜想是什么? 我们的猜想是通解是 某函数v乘上 我们解出的第一个解 e^(-2x) 当我们顺着这个猜想去做 把它代入以后 我们真的能解出 v 并且得到v等于这个东西 这是一件很有趣的事情 那么 g 或者说 猜测函数等于什么呢? 这不再是猜想了 我们已经推导出它就是解 g 也就是解 等于 v(x)... 乘以e^(-2x) 也就是 (c1 x + c2)e^(-2x) 等于 c1 xe^(-2x) 加 c2 e^(-2x) 现在我们得到了真正的通解 我们有两个常数 可以满足两个初始条件 如果你想找规律的话 这就是规律 当特征方程 有重根的时候 通解等于 你会用到那个e的幂 那个根那么多次幂 用两次 不过有一次前面要放个 x 这对二阶齐次常系数线性方程 屡试不爽 下个视频见