待定系数法3

我们再来做一个解非齐次 常系数线性微分方程的例子 方程的左边依旧是 我们一直在做的那个 y二阶导 -3y'-4y 等于。。。 现在右边不再是指数函数 抑或三角函数 我们来看一个简单的 嗯 就来个x2吧 这是一个多项式 对吧？ 你知道怎么求出齐次方程的通解了 如果这里是0的话 所以我们只关注 如何求解特解 然后我们把它加上齐次方程的通解 就求得方程的解 那么特解应该怎么去猜呢？ 额 当这头有指数的时候 我们猜测解是一个指数函数 当我们有三角函数的时候 我们猜测我们的解是三角函数 现在我们有一个多项式项 使微分方程成为一个非齐次方程 我们猜测特解是一个多项式 这个猜测是很合理的 如果你取一个二次多项式 取它的导数加加减减 你可以预期 能得到另外一个二阶多项式 让我们猜测解为 Ax2+Bx+C 它的二阶导数是什么呢？ 它的二阶[一阶]导数是 2Ax + B 抱歉 这是一阶导数 二阶导数应该是2A 我们可以把它代回到原方程 我们得到二阶导数 2A 减去三倍的一阶导数 -3A 噢不 抱歉 减去三倍的这个 所以-6Ax-3B -4倍的原函数 即-4Ax2-4Bx-4C 也就是四倍的整个东西 这个等于 4x2 我可以把x2合并一下 还有x和常数项 然后我们可以试着把常数解出来 我们看看 我这儿有一个平方项 是-4Ax2 x项系数是什么呢？ 我有-6Ax -4Bx 我们说是(-6A-4B)x 我把系数加一下 最后我们得到常数项 即2A-3B-4C 所有的这些等于4x2 如何求解A、B、C？ 嗯 不管左边的x2系数长什么样 它应该等于4 不管x系数合起来是什么 它应该等于0 对吧？ 因为你可以把这边看做+0x 对吧？ 然后你还可以说 加上常数0 所以常数加起来也要等于0 我们来求一下 首先我们求一下平方项 即-4A = 4 这告诉我们 A = -1 妥了 然后是x项 -6A-4B 应该等于 0 对吧？ 我们写一下 我们知道A是什么了 代入就是 即-6A (-6)*(-1) 即6-4B =0 我们得到 4B 我把4B移过去 两边换一下 4B等于6 B等于... 6/4 = 3/2 最后常数项为0 我们解一下 2A 即-2 -3B的话 即-3倍的这个 -9/2-4C 等于0 我们看看 我不想粗心搞错 这是 -4-9/2 对吧？ 是-4/2-9/2 我们可以把4C移过去 这个等于4C -4-9等于多少呢？ 等于-13/2 -13/2 等于4C 两边除以4 得到 C = -13/8 我想应该没错吧 如果没算错的话 已经得到特解了 我把整个解写一下 所以 这是一块很赞的条形地块哈 我们把解写一下 我们的解等于 特解Ax2 也就是-x2 Ax2加上Bx。。。 即3/2x 加上C即-13/8 这就是特解 我们解出了A、B、C 我们确定了待定系数 现在我们想要求通解 只需加上齐次方程的通解就行了 通解是什么 y''-3y'-4y 等于0 我们已经解过N次了 我们知道齐次方程的通解是 C1e^(4x) 加上C2e^(-x) 对吧？ 我们写出特征方程 即r2-3r-4 我们能得到什么？ 我们得到(r - 4)(r + 1) = 0 通过因式分解求得两个根-1和4 过程略 所以如果这是齐次方程的通解的话 这又是非齐次方程的 一个特解 那么非齐次方程的通解 就等于两者之和 我们把它加起来 加上C1e^(4x) +C2e^(-x) 解完 这应该不是特别痛苦 最痛苦的地方是要确认 算数的时候没有弄错 但我们通过用一个相当直接的 算术性很强的方法 我们能够求出这个 二阶常系数线性非齐次微分方程的 一个看起来很复杂的解 下个视频见