挑战题：两个圆上的点

点A位于-5，5 这里是-5 1，2，3，4，5个单位 5在这里 所以，点A在这里 这个就是点A，-5，5 然后，这是一个圆A的圆心 我现在先不画，因为还不知道圆A的半径 点B位于，我们用合适的颜色划上下划线 点B在3，1 所以，1，2，3个单位，然后是1 所以，点B在这里 圆B的圆心，点P位于0，0 也就是正好在坐标原点 它在圆A和B上 信息量真大啊 如果题目告诉我们，它同时在两个圆周上 那就意味点B到圆心的距离就是圆B的半径这么远 也告诉了我们，它离圆心，也就是点A，有圆A半径这么远 让我们来计算这些半径实际是多少 我们可以想象一下-让我画出来 一个圆A的半径 我们知道点P在圆周上 也就是说，它就是圆A的半径 我们可以使用距离公式 距离公式脱胎于勾股定理 所以距离公式告诉了我们，这里的个这个半径 就是两点的距离 所以，半径，或者说两点的距离的平方 等于点A和PX坐标变化量的平方加上 Y坐标变化量的平方 我们可以写做 -5减去0的平方 这个就是X坐标的变化量，-5减去0然后平方 加上Y坐标的变化量，5减去0的平方 这样我们就得到了两个点的距离 也就是半径的平方 等于-5的平方加上5的平方 或者说，半径是等于 这里的25和这里的另外一个25的和，50的平方根 我们可以写成是25乘以2 因此这个就是等于是 25乘以2以后的平方根 也就是5乘以2的平方根 所以这里的距离等于是5乘以根号2 我说过,这个和勾股定理是一回事 为什么？ 如果我们在这里构建一个直角三角形 然后我们可以来计算距离 距离就是-5减去0的绝对值 或者你可以说，0减去-5 距离为5 Y轴方向上0和5的距离 就是5 勾股定理告诉我们取5的平方 也就是25，加上5的平方，另外一个25 等于是斜边的平方 这个正好就是我们这里求的 你可能会说，等下 这里有一个-5的平方 而这里是正5的平方 但是我们这么做的原因是，当你平方的时候 负号就消失了 距离公式，你可以写成这个方式 我们取绝对值 然后，就清楚了 这个就是勾股定理 这里可以是5的平方加上5的平方 5的平方加上5的平方 我们不需要一定这么做的原因是 当你平方的时候，符号就不重要了 它总会是得到一个正的值 但是不管怎样，我们算出了半径 现在我们来计算圆B的半径，同样的思路 圆B的半径的平方，等于X坐标变化量的平方 我们可以写成3减去0，或者0减去3 我们先写成3减去0 3减去0的平方加上1减去0的平方 半径，或者说两个点的距离 是这个的平方根 就是3的平方加上1的平方 等于9加上1 就是10的平方根 圆B半径是10的平方根 现在，题目问我们 哪个点同时位于圆A和圆B，也就是两个圆上 我们所要做的，是看一下这些点 如果一个点离点B距离是根号10 则它在该圆周上 也就是说半径的距离 圆周是距离圆心距离为一个半径长度的所有点的集合 如果它和那个点的距离是5乘以根号2 那么它就是在圆A上。如果都不是，则不在任何一个圆上 它也可能同时在两个圆上 让我们一个一个的来计算 点C位于4，-2 我们换成新颜色以示区别 点C，我们用橙色标记 点C在1，2，3，4，然后是负2，这里 点C在这 看上去很近 但是因为这个图是手绘的，它不精确 点C在这里 看上去很近 但是我们要验证一下 点C和点B距离 距离的平方 等于是X坐标变化量 也就是4减去3，的平方 加上-2减去1的平方 也就是1的平方加上-3的平方 所以距离的平方等于是10 或者说 距离等于是根号10 也就是这里的长度 等于是根号10 所以它在圆周上 如果我们画出圆B 它看上去会是像这样 再次强调一下，图形是手工画的，不是很精确 但是它应该像这样-- 我画出它的一部分--应该像这样 正好是一个半径的距离 所以我们记下，它在圆B上 现在我们看下这个点 这个点是5，3 我用粉红色区别 所以，1，2，3，4，5， 然后是3 看上去很近，但是我们还是验证一下 现在，距离等于是 我们写下来，距离的平方 等于X坐标变化量的平方 也就是5减去3的平方，加上3减去1的平方，Y坐标变化量的平方 求得的距离等于是--实际上 我不想忽略太多步骤 我们看，这是2的平方 也就是4，加上2的平方，另外一个4 距离等于是8的平方根 也就是2乘以4的平方根 也就是2乘以2的平方根 4的平方根等于2 我们可以看到，更好里面只有2 它和根号10这个距离值不一样 所以，这个点不在圆B上 注意看，你可以发现 它不会在圆A上 这个距离，比5乘以根号2更远 这个对点C来说也成立 点C的距离比5乘以根号2更远 视觉上可以看出来 它们离点A的距离比一个半径的距离更远 所以这里的这个点，不在两个圆的任何一个圆周上 都不在 最后，我们有点-2，8 我们来计算一下 我们再次用黄色一下 -2，8， 这是-2， 然后是 1，2，3，4，5，6，7，8 它在这里 点E在这里 看一下这个距离，显然，它离的很远 看一下就知道 很明显它离B的距离超过一个半径的距离 它不会在圆周B上 同时，看下它相对点A的距离 看上去离点A更近一些 它不比点P到点A的距离更近 所以，看上去，你可以排除这一项 它不在两个圆周的任何一个上 但是如果想的话，我们可以自己验算一下来确定 我们可以计算两点之间的距离 距离的平方等于X坐标变化量 就是-2减去-5的平方，加上 Y坐标变化量的平方，也就是8减去5的平方 这个就是距离的平方 它等于-2减去-5 就是-2加上5 就是3的平方加上3的平方 应用勾股定理 距离是3 这里的距离，X坐标的变化量是3 Y坐标的变化量是3 3的平方加上3的平方得到的 就是距离的平方 所以，距离是 忽略一部分步骤的话 等于根号 我们写做9乘以2 也就等于3乘以根号2 圆A半径是5乘以根号2 不是3乘以根号2 所以它会在圆A的内部 如果我们画一个圆A 它会像这个样子 点E在内部 点D和点C在圆A外部 唯一一个在两个圆的圆周上的是点C