证明三角形三条中线相交于一点

这个视频的目的是证明 一个三角形的三条中线 总是在同一点交汇，这很有趣， 因为，你会期望两条具有不同斜率的直线， 在一点交汇， 但是，三条直线在一点交汇就相当奇妙了。 这个结论对所有的三角形都成立。 为了进行证明， 我在这里画出一个三角形。 我把一个顶点放在原点， 这可以简化数学计算。 然后，我把另一个顶点放在 x 轴上， 我已经给出它们的坐标。 这个点是在（0，0）， 这一个点，我们刚才说过， 其 x 坐标是 a ，所以它是 （a，0）， 这里的这个点，具有 x 和 y 坐标， 我们叫它 （b，c）， 这是一个任意三角形。 如果你有其他的三角形， 与这个三角形有同样的尺寸， 而这个三角形可以有任意的尺寸， 因为我们并没有确定a，b 和 c。 你可以用刚性变换 由这个三角形得到其他的三角形。 所以，假如我们可以证明这个三角形的中线， 这个一般性的三角形的中线，总是相交于一点， 那么，对所有的三角形都是正确的。 我们再多做一点， 我们画出中线， 我们要做的就是 画一条从每个顶点 到其对边中点的直线。 我们这样做，就画出了所有的中线。 肯定，看起来它们是在一个点相交。 但是，要证明这一点，我们来想一想 每个边的中点的坐标 是什么。 这里的坐标是什么？ 请暂停视频，想一想。 这是上面的这个点和 右下角的点的之间的中点。 这个长度等于那个长度。 对于中点，你可以认为 就是取每个坐标的平均值。 这里的 x 坐标就应该是 b 和 a 的平均值， 你可以把它写成 (a + b)/2。 它的 y 坐标就是 c 和 0 的平均值。 它就是（ c + 0）/2，或者说 c/2。 我们可以对每个中点都这样给出其坐标。 这里的这个点， 它的 x 坐标就是 0 和 a 的平均值， 也就是 a/2。 它的 y 坐标就是 0 和 0 的平均值， 你可以看到，它在 x 轴上。 所以，它的 y 坐标是 0。 然后，最后一个也是同样重要的一个， 这个点的坐标是什么？ 暂停视频，尝试给出结果。 好，它的 x 坐标， 应该是 b 和 0 的平均值， 也就是 b/2， 它的 y 坐标就是 c 和 0 的平均值，也就是 c/2， 要想证明三条中线 相交在一个特定的点的方法，就是让你们看到， 一个同时在三条线上的坐标。 如果它在三条线上， 它就一定是交点。 而且，这个有意思的点， 是在每一个沿中线的2/3 的地方。 一个考虑方法就是 从顶点到这个点的距离 是中线长度的2/3。 我们来看这个蓝色的中线， 这个点离顶点的距离 是它到对边的距离的2 倍。 这是基于 x 和 y 坐标的加权平均。 在我们做中点时，它们的距离相等， 我们的坐标的权重相同， 所以，你只需取均值。 但是，当你离这个边更近时， 你要根据情况，取加权平均。 所以它就是 2/3 乘以 （a+b)/2， 加上 1/3乘以 0，而 y 坐标 就是 2/3 乘以 c/2， 加上 1/3乘以 这里的 y 坐标， 它是 0 。 再说一遍，我们为什么 要有这个 2/3 和这个 1/3 的权重？ 因为这个点离开这个点的距离 是到这个点的 2 倍。 现在，如果我们想简化它，我们会得到什么？ 这个 2 和这个 2 消掉， 这是 0，所以我们得到 （ a + b )/3， 这是 x 坐标。 对于 y 坐标，这是 0 ， 这个 2 和这个 2 相消，我们得到 c/3。 我们得到了的确位于 这个蓝色中线上的一个点。 现在，我们再做一个类似的练习。 对于这个粉色的中线， 这个粉色的中线， 那个位于中线上的点， 其到顶点的距离是 到对边距离的2倍，这个点的坐标是什么？ 这是和上面完全相同的算法。 我们将对这个坐标取 2 倍的权重。 那么，x 坐标就是 2/3 乘以 b/2 加上 1/3乘以 a 。 它的 y 坐标就是 2/3 乘以 c/2 2/3 乘以 c/2 加上 1/3 乘以 0， 1/3 乘以 0。 我们能得到什么？ 我们来看， 这个 2 和那个 2 相消， 我们还有b/3+ a/3， 它与 （a+b)/3 相同。 在这里，这是 0， 它消掉， 就是 c/3。 注意， 在蓝色中线上的点的坐标和粉色中线上那个点的坐标完全相同。 这一定是它们的交点。 我们来看对于这个橘黄色的中线是不是也成立。 在橘黄色的中线上，做完全相同的计算， 我建议大家暂停视频， 自己计算它的值。 橘黄色的直线上， 这个距离是这个距离 2 倍的点的坐标是什么？ 同样的概念， 我们对这里这一点取2倍权重 所以，x 坐标就是 2/3 乘以 a/2， 加上 1/3 乘以 b。 y 坐标就是 2/3 乘以 0 ， 2/3 乘以 0 ，加 1/3 乘以 c ， 1/3 乘以 c ，我们得到什么？ 我们来看，它消掉它， 所以，我们有 a/3 + b/3。 这和这里的 (a+b)/3 相同。 这里，是0， 我们还有 c/3， 注意，我们给出了 在三个中线上的完全相同的坐标。 所以，这三条中线一定 在这一点相交，因为这一点位于所有的中线上。 我们已经看到这个结果了。 它对这个任意三角形成立， 你可以通过改变 a,b,c 的值， 使得这个三角形具有任意的尺寸， 如果你看到一个和它相同尺寸的三角形， 它被平移，或者方向不同， 你可以做刚性变换，而刚性变换 不会改变任何尺寸， 你就可以说对这个三角形， 上面的结论也是正确的。