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用坐标将图形分类

用坐标来确定一个图形的边的斜率,从而将它们分类。 Sal Khan 创建

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视频字幕

题目中说,平行四边形 ABCD 顶点坐标如下, 然后他给了每个顶点的坐标。 然后问,平行四边形 ABCD 是矩形吗?为什么? 暂停视频,先试着自己做做看。 好,我们一起来。 通常来说, 如果你知道一个东西已经是平行四边形了, 你需要判断它是不是矩形, 实际上只需要看它的邻边夹角是否为直角。 比如, 一个平行四边形是这个样子, 我们知道,平行四边形 的两组对边是平行的, 这个边平行于这个边, 然后这个边平行于这个边。 而所有的矩形都是平行四边形, 但平行四边形不一定是矩形。 如果一个平行四边形是矩形, 那么这两个边的夹角必须得是直角。 显然,我们画的这个,它不满足。 现在我们需要根据他给的这些坐标 来推断出这个条件。 为了更直观, 我们把坐标系画出来。 我在这里画数轴, 这是 x 轴, 这是 y 轴。 我们来看这些坐标, 我们看,只有 2,4,6, 所以我们只需要,还有 8, 只标出偶数点就行。 所以这是 2,4,6,8, 然后是 -2,-4,-6,-8。 这里也是 2,4,6,8, 然后还有 -2,-4,-6,-8。 多一个点表示多 2, 两个两个数。 我们把这些点画出来, 用不同颜色,容易分辨。 点 A 是 -6,-4, 这是 -2,-4,-6, -4 在这里。 这就是点 A。 然后是点 B,坐标是 -2,6。 坐标是 -2,6, 这里往上是 2,4,6。 这里就是点 B 了。 然后是点 C,坐标是 8,2, 是 8,2, 就在这里, 这就是点 C。 然后最后一个是点 D, 坐标是 4,-8, 坐标是 4,-8, 就在这里,点 D。 所以这个四边形, 实际上我们知道是平行四边形,就是这个样子。 线段 AB 就在这里。 而线段 BC 在这里, 线段 CD 是这样的, 然后线段 AD 是这样。 而我们已经知道它是平行四边形, 所以我们知道 AB 平行于 DC, 而 BC 平行于 AD。 但我们要做的是 判断它们的夹角是否是直角。 我们要根据坐标来做判断, 因此需要计算出各个边的斜率。 我们首先计算 AB 的斜率。 AB 边的斜率就等于 y 方向的变化量除以 x 方向的变化量。 y 方向的变化量等于 6 减 -4, 6 减 -4,除以 -2 减 -6, 它就等于 6 加 4, 也就是 10, 除以 -2 减 -6, 也就是 -2 加 6, 所以是除以 4, 就等于 5/2。 好,这挺有趣。 BC 边的斜率是多少? BC 边的斜率就等于, 还是 y 的变化量除以 x 的变化量, y 坐标的变化量是 2 减 6, 2 减 6, 除以 8 减 -2, 8 减 -2, 就等于 -4 除以 分母的 8 减 -2 就等于 8 加 2,也就是 10, 所以整个等于 2/5。 在其他的代数课程中, 你应该学到过, 如果两条直线的夹角为直角, 如果两条直线垂直, 那么它们的斜率互为负倒数。 你在这就可以看到, 它们互为负倒数。 将上面这个斜率取倒数,就是 2/5, 再加个负号, 变成负的, 就得到了 -2/5。 所以这两条线互相垂直。 因此我们得出结论, AB 垂直于, 线段 AB 垂直于线段 BC, 这样我们就知道了答案。 当然,也可以再推导, 但这是平行四边形, 如果一个角是直角, 所有的角就都是直角。 我们可以在其他视频中严格证明它, 但现在我已经足以判断 这确实是一个矩形。 如果你愿意,也可以继续分析其他的角, 你会发现这里垂直, 这里垂直,这里也垂直。 我们现在来看看哪个选项符合我们的判断。 A 选项说,是, 意思是它是一个矩形, 因为 AB 等于, 线段 AB 的长度等于 线段 AD 的长度, 而线段 BC 的长度 等于线段 CD 的长度。 有可能确实如此, 我没验证长度是不是相等。 但就因为这些相等, 再加上我们已知它是平行四边形, 也不能推断出这是一个矩形。 举个例子,你可以画一个平行四边形, 甚至所有边都相等, 比如就像这样的平行四边形。 很明显,如果四条边等长, 那这就是个菱形, 但菱形可不一定就是矩形。 所以,排除掉第一个选项。 第二个选项说,是, 然后说是因为 BC 垂直于 AB。 没错,我们通过它们的斜率 互为负倒数,推断出它们垂直。 而且当然,我们已知 ABCD 是平行四边形。 这个选项我喜欢。 剩下的选项都说这不是矩形, 但我们已经判断出它是矩形。 所以我们可以都排除掉。