圆面积的直觉

-[讲述者]我在这个视频中想做的是 做一个非正式的解释 关于为什么圆的面积公式 是π r的平方。 我们要开始了 最传统的数字π的定义 我就写在 这里的某个角落 π等于 圆的周长和直径的比例 或这说圆的周长比 圆的直径 或者，当然，我们也可以把这个 写作周长比上 并不是直径， 我可以写作2乘以半径 或者我可以让等式两边乘以半径的两倍 我们就得到了传统的圆周公式， 关于一个圆的周长， 但是再说一次，这仅仅是从 π的定义本身推导出来的。 数字π的定义是 周长和直径之间的比例， 所以你只要两边同时乘以 乘以直径，你就得到了周长 等于π乘以直径。 现在，我们这里有周长公式， 再说一次，这仅仅是从π的定义推导出来的， 但是从这个式子当中，我想至少获得一种直觉上的理解 关于为什么面积公式是π r的平方 为了思考这个问题，我们将要近似求 多边形的面积，这些多边形 内嵌在一个圆里。 所以在这里，我有这个，这是什么？ 这里是一个五边形 它的面积将等于， 所以这个多边形的面积 这将是五倍的 每个三角形的面积 并且每个三角形的面积是， 高是a，底边长是b， 所以这将是底乘以高 或高乘以底乘以1/2。 所以这个就是，5乘以ab除以2， 它不是一个很好的近似值。 这将只是内接的多边形的面积， 所以我们绝对低估了 整个圆的面积 或者忽略所有这些小的部分， 这些在多边形之外的小块， 它们仍然在圆里。 但是随着我们为多边形添加更大的尺寸， 我们看到我们少忽略了一些。 我们看到，当我们现在拥有 这是一，二，三，四， 五，六，七边形的多边形的时候， 我们忽略的部分减少了。 我们仍然低估了， 但是我们低估的更少了。 我们放弃的这个领域 不像这里的这个区域那么大。 所以在这个近似值中，我们有，我说了什么？ 七个三角形？一，二，三，四， 五，六，七个三角形。 以及每个三角形的面积 是ab除以2。 现在，这里的a和b和这里的a和b是不同的， 注意发生了什么。 随着我们增加， 随着我们增加三角形的数量， 不仅我们更好的近似了圆的面积， a也越来越长。 你可以看到，你也可以想象的到， 随着我们增加很多，很多，很多三角形， a将要接近r。 现在要考虑的另一件事是7， 7乘以b会接近什么？ 所以我们说a正在接近r 当我们增加多边形的边数， 随着我们增加三角形的数量， 现在三角形的数量 乘以三角形的底边长，这个数字在接近什么？ 好吧，这将接近周长， 或者说这将会是这个多边形的周长， 所以7乘以b是这个加上， 实际上，让我把这个画出来， 就是这个加上这个 再加上这个， 我觉得你理解我想要表达的点了， 再加上这个， 再加上这个， 再加上这个， 再加上这个。 所以再一次，7，让我把这个7 乘以b写下来，这也就是这个多边形的周长， 周长， 多边形的周长。 那么想一想发生了什么。 随着我们多边形的边越来越多， 我们的a，我们每个三角形的高， 将接近我们的半径， 将接近半径。 它会达到每个三角形的高。 它会越来越长， 它会接近我们的半径， 当我们接近有无限数量的三角形的时候， 然后是多边形的数量， 不是多边形的数量， 是我们有的边长的数量乘以底边长， 那将是多边形的周长 随着我们添加越来越多的边， 随着我们添加越来越多的边， 多边形的周长将会接近， 将会接近， 将会接近圆的周长。 让我把它写出来，周长， 周长， 你在这里能够更清楚地看到。 所以，再一次，我这里有多少条边？ 我有一，二，三，四，五，六， 七，八，九，十条边， 所以这个，我可以把多边形的周长写作 10乘以b 然后如果我把它乘以a除以2， 如果我把它乘以， 我们用另一种颜色来写。 a除以， 让我就这样写， 乘以a除以2， 我还是在近似圆形的面积 因为a乘以b除以2， 这是每个三角形的面积 然后我有10个这样的三角形， 但是现在让我们思考一下更普遍的情况。 让我们思考一下如果我有n， 如果我有一个n边的多边形， 也就是我有一个n边多边形， 那我大概会把这个面积近似 为n乘以b， n乘以b， 我们在这里看到了这个。 当n等于10的时候，你有10乘以b。 所以是n乘以b 乘以a除以2。 乘以a除以2。 我就这么写了， 这不是什么神秘的东西。 底乘以高除以2， 就是这里的这个， 这就是每个三角形的面积 然后我有n个这样的三角形， 所以这是我们对面积的近似值， 让我把这个写下来， 面积大约就是这里的这个表达式。 它将会是n，也就是我有的三角形的数量， 乘以每个三角形的面积。 现在会发生什么， 当n接近无穷大时， 当我接近有一个无限边的多边形， 因为我有无限多个三角形， 让我们好好想想这个问题。 因为这是更有趣的地方。 现在这就是我的非正式的论点。 为了更好的做这件事，我必须挖出 一点点微积分，但是这个会给你必须知道的东西。 因此让我们考虑一下会发生什么 当n接近无穷大时。 因此，当n接近无穷大时， 我们已经说过了，在我们有越来越多的边的时候 我们有越来越多的三角形， a接近r， 所以让我们写下来。 因此，a将接近r， 三角形的高度将接近半径 还有什么会发生？ 好吧，n乘以b，多边形的周长， 多边形的周长 将接近圆周长。 因此，a将接近r n乘以b将会接近圆周长， 将会接近圆周长， 或这另一种思考它的方式是， 如果它接近圆周长， 我们可以说n乘以b 将会接近2π乘以半径 因为那是周长 的表达式。 因此，如果a接近半径 而nb正在接近2πr， 那么，整个表达式， 面积将会是， 我们的多边形的面积将会是多少 或者说我们的多边形的面积将会是， 或者说，我们的圆形的面积将会是？ 好吧，它将会接近， 它会接近，或者我应该说，我们的多边形的面积 将会接近， nb将会接近2πr， nb将会接近2πr。 我在这里写了2πr，而不是nb。 a将会接近r。 a将会接近r， 然后我要除它， 然后我将其除以2。 所以当n接近无穷大时， 因为我们有无限边的多边形， 无限数量的三角形， 我们多边形的面积会接近这个， 它等于什么？ 好吧，你有2除以2 然后πr乘以r 等于π r的平方。 所以当我们接近无限数量的三角形 以及无限，我想保留在那里， 无限边数的时候， 我们看到我们接近圆的面积 当我们接近圆的面积时， 我们正在接近π r的平方。 所以希望这能给你一个很好理解的 为什么这里的这个 是圆的面积的公式的原因。 你可以将其视为一个 有无限边的多边形的面积 内嵌在圆里， 也就等于这个圆的面积。