几何构建：圆的切线（示例2）

我们再看一个 用虚拟的圆规和直尺 作圆的切线的例子。 要求是作过点P 且和圆相切的直线。 这个例子中，点P并不在圆上， 而是在圆外。 因此我们画出来的切线大概是这样， 让我把直尺调出来。 我的控制键在上面， 这个是可汗学院的练习， 作圆的切线， 所以有控制键。 现在在界面上添加直尺。 你仍然可以只是目测。 这条直线过点P并且与圆相切， 它看起来可能是这样。 这看起来挺精准的，但正如我们之前所说的， 在其他几何作图的视频中， 这只是目测， 我们并不知道这有多精确。 那么如果我们有了圆规和直尺， 如何使作图更精确呢？ 事实上在作图的过程中， 我们会得到一些有意思的图案。 那么我们如何画出切线呢？ 我现在要做的是 画一个圆， 满足 以PC为直径。 下面来画这个圆。 我现在想要 画一个以PC为直径的圆。 为了画出这个圆， 我需要知道它的圆心。 之后你就会看到 画一个以PC为直径的圆的用处了。 那么圆心在哪里？ 看上去大约是在这儿， 但我们该如何精准地确定圆心的位置？ 为了确定圆心地位置， 我们需要找到线段PC（或线段CP）的中点。 为了确定中点， 要再画两个圆。 我把它们画得比图中原有的圆大一点。 一个圆以C为圆心。 我把它再画大一些，大概这么大。 我要再画一个圆， 它的半径 和刚刚画的较大的圆的半径相同。 半径相同。 这个圆的圆心是点P。 这为什么很有趣？ 我刚刚画的这两个圆的有趣之处在哪里？ 这两个圆的交点 到点P和点C的距离相等。 从何得知？ 这个圆上所有的点到点C的距离相等， 这个圆上所有的点到点P的距离相等， 且这两个圆的半径相同。 至于这个点， 它到点P和点C的距离相同， 因为它同时在这两个圆上。 因此这个点到点P和点C的距离相同， 这个点也是。 因此这两个点 都在这个线段 即线段CP的垂直平分线上。 我把它画出来。 我画的这条线 就是 线段CP的垂直平分线。 我们真正关心的是 这条线平分线段CP， 因为我们想要找到CP的中点。 现在我们找到了线段CP的中点， 我们就可以画出之前提到的圆了。 一个以CP中点为圆心， 以CP为直径的圆。 我已经做到这一步了， 但我为什么要费这么大劲这么做？ 现在我们要用到如下定理： 如果圆中有一个内接三角形， 且三角形的一条边是圆的直径， 那么这是个直角三角形。 我说的是什么意思？ 我画一个三角形。 在这添加直尺。 我要画一个三角形， 使其一条边为这个圆的直径， 并且要使三角形内接于这个圆 我刚刚画， 以PC重点为圆心的圆。 显然CP是直径。 内接三角形的一条边是CP， 三角形另一个端点放在这， 因为这个点在以C为圆心的圆上。 我要再画一个线段。 以这个点和点P为端点。 这是一个直角三角形。 我是如何得到这个结论的， 我已经在别的视频中证明了， 这个三角形是圆的内接三角形， 它内接于 黄色高亮的圆。 三角形的一边是圆的直径， 这条边其实就是三角形的斜边。 别的视频中已经证明了。 所以这是个直角三角形。 这个的用处是什么？ 这对于 作这个圆 即以C为圆心的这个圆的切线有什么用呢 ？ 这条边， 即橙色高亮的这个， 是圆C的半径。 它和这条边 构成直角。 那么这条一定和圆相切。 为了让它看起来更像是和圆相切， 我把它拉长一点。 就是这样。 可以看到 这两段确实垂直， 且 橙色高亮的这段 确实和圆相切。 这么做 与目测作图相比 （或许你们很多人的确可以直接目测作图） 麻烦得多。 但如果你作图的规模更大， 你希望作图更加精准， 用这样的方式作图会很有用。 在作图的过程中， 当你使用圆规 和直尺时， 你对这些工具的作用会有新的认识， 并且你会得到一些 非常有趣的图案和设计。 我甚至想把这幅图挂在墙上。