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主要内容

高中几何

课程: 高中几何 > 单元 8

课程 4: 弧度简介
数学
高中几何
圆形
弧度简介
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弧、比率和弧度

Google课堂
我们可以用弧长和扇形半径之间的比例常数来描述一个角度度数，因为所有具有相同角度度量的扇形都是相似的。 

圆和扇形的放大

所有圆都是相似的，因为只要通过刚性变换和放大，它们就都能重叠在一起。但圆不是全等的，因为它们可以有不同的半径。
扇形是圆内两条半径夹出的部分。两个扇形若要相似，必须有完全相等的圆心角。
弧是圆的圆周上两条半径夹出的部分。相似的，两条弧若要相似，必须有完全相等的圆心角。
圆B和对应扇形是圆A和对应扇形以3为比例的放大。
圆B的哪些属性与圆A相同？
性质相同或不同
扇形面积
扇形圆心角
半径长度
扇形中弧的长度
圆的圆周和半径之比
弧长与半径之比

比例推理

当我们学习直角三角形时，我们知道对于给定的锐角角度，start fraction, start text, 对, 边, end text, divided by, start text, 斜, 边, end text, end fraction的值永远是相等的，无论直角三角形面积有多大。我们管这个比例叫角的正弦值。
对于给定角度的扇形，它的start fraction, start text, 弧, 长, end text, divided by, start text, 半, 径, end text, end fraction也有类似的性质。对于下列每一条结论，尝试在看解释前自己思考一下为什么。
这两个圆中的扇形的圆心角是相等的。

论证

  1. 圆2是圆1的放大。
  2. 如果圆1和圆2之间的比例是start color #7854ab, k, end color #7854ab，那么r, start subscript, 2, end subscript, equals, start color #7854ab, k, end color #7854ab, r, start subscript, 1, end subscript。
  3. 圆1中的弧长是start color #bc2612, ell, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, equals, start color #bc2612, start fraction, theta, divided by, 360, degree, end fraction, dot, 2, pi, r, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612。
  4. 相似的，圆2中的弧长是start color #a75a05, ell, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, equals, start color #a75a05, start fraction, theta, divided by, 360, degree, end fraction, dot, 2, pi, r, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05。
  5. 通过换元，我们可以将其写成start color #a75a05, ell, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, equals, start fraction, theta, divided by, 360, degree, end fraction, dot, 2, pi, start color #7854ab, k, end color #7854ab, r, start subscript, 1, end subscript。
  6. 所以start color #a75a05, ell, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, equals, start color #7854ab, k, end color #7854ab, start color #bc2612, ell, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612。
  7. 得出结论，start fraction, start color #bc2612, ell, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, divided by, r, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, start color #a75a05, ell, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, divided by, r, start subscript, 2, end subscript, end fraction。

结论

对于两个角度给定的扇形，弧长和半径的比是固定的，无论圆有多大。

新比率以及测量角度的新方法

对于任何一个角，我们都可以将它的顶点处想象成一个圆心。角的弧度等于它的start fraction, start text, 弧, 长, end text, divided by, start text, 半, 径, end text, end fraction。每一个角的弧度都是固定的，无论圆有多大。
对于不同分数的圆，用角度和start fraction, start text, 弧, 长, end text, divided by, start text, 半, 径, end text, end fraction之比将表格填完整。
分数中心角大小（角度）中心角大小（弧度） theta, equals, start fraction, start text, 弧, 长, end text, divided by, start text, 半, 径, end text, end fraction
start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
degree		theta, equals
start fraction, 1, divided by, 3, end fraction
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
degree		theta, equals
start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
degree		theta, equals

更多描述弧度的方法

一弧度表示的是围绕圆周前进一个半径长度通过的角度。
因此，弧度是弧长和半径之间恒定的比例。
θ=弧长半径θ⋅半径=弧长\begin{aligned}\theta&=\dfrac{\text{弧长}}{\text{半径}}\\\\ \theta \cdot \text{半径}&=\text{弧长} \end{aligned}
绕圆心转一周需要2, pi弧度（略多于6弧度）。这是合理的，因为圆的周长是2, pi, r，也就是2, pi倍的半径长。

为什么要用弧度而不是角度？

正如我们会为不同的目的选择不同的长度单位，我们也可以根据情况选择角度测量单位。
当我们想要处理整数时，角度更加有用，尤其是圆中有很多整数的角度。但当我们在求弧长时，弧度可以帮助我们简化计算公式。
还有很多其他测量角度的方式，例如直接描述在一个圆周绕了几圈，或将圆周一圈分割成100个等份进行描述。最重要的是，你要明确你使用的是什么测量方式，让所有人都能理解你所要表达的角度大小。

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