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主要内容

弧、比率和弧度

我们可以用弧长和扇形半径之间的比例常数来描述一个角度度数,因为所有具有相同角度度量的扇形都是相似的。 

圆和扇形的放大

所有圆都是相似的,因为只要通过刚性变换和放大,它们就都能重叠在一起。但圆不是全等的,因为它们可以有不同的半径。
扇形是圆内两条半径夹出的部分。两个扇形若要相似,必须有完全相等的圆心角。
是圆的圆周上两条半径夹出的部分。相似的,两条弧若要相似,必须有完全相等的圆心角。
圆B和对应扇形是圆A和对应扇形以3为比例的放大。
圆B的哪些属性与圆A相同?
性质相同或不同
扇形面积
扇形圆心角
半径长度
扇形中弧的长度
圆的圆周和半径之比
弧长与半径之比

比例推理

当我们学习直角三角形时,我们知道对于给定的锐角角度,对边斜边的值永远是相等的,无论直角三角形面积有多大。我们管这个比例叫角的正弦值。
对于给定角度的扇形,它的弧长半径也有类似的性质。对于下列每一条结论,尝试在看解释前自己思考一下为什么。
这两个圆中的扇形的圆心角是相等的。

论证

  1. 圆2是圆1的放大。
  2. 如果圆1和圆2之间的比例是k,那么r2=kr1
  3. 圆1中的弧长是1=θ360°2πr1
  4. 相似的,圆2中的弧长是2=θ360°2πr2
  5. 通过换元,我们可以将其写成2=θ360°2πkr1
  6. 所以2=k1
  7. 得出结论,1r1=2r2

结论

对于两个角度给定的扇形,弧长和半径的比是固定的,无论圆有多大。

新比率以及测量角度的新方法

对于任何一个角,我们都可以将它的顶点处想象成一个圆心。角的弧度等于它的弧长半径。每一个角的弧度都是固定的,无论圆有多大。
对于不同分数的圆,用角度和弧长半径之比将表格填完整。
分数中心角大小(角度)中心角大小(弧度) θ=弧长半径
12
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
°
θ=
13
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
°
θ=
14
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
°
θ=

更多描述弧度的方法

一弧度表示的是围绕圆周前进一个半径长度通过的角度。
因此,弧度是弧长和半径之间恒定的比例。
θ=弧长半径θ半径=弧长
绕圆心转一周需要2π弧度(略多于6弧度)。这是合理的,因为圆的周长是2πr,也就是2π倍的半径长。

为什么要用弧度而不是角度?

正如我们会为不同的目的选择不同的长度单位,我们也可以根据情况选择角度测量单位。
当我们想要处理整数时,角度更加有用,尤其是圆中有很多整数的角度。但当我们在求弧长时,弧度可以帮助我们简化计算公式。
还有很多其他测量角度的方式,例如直接描述在一个圆周绕了几圈,或将圆周一圈分割成100个等份进行描述。最重要的是,你要明确你使用的是什么测量方式,让所有人都能理解你所要表达的角度大小。

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