弧长度与半径之比

在这个视频中， 我们将考虑一种度量角度的方式。 度量角度的方式不止一种。 在其他视频中， 你或许已经见过我们用「度数」来衡量角度。 现在我们将引入一个新概念。 如果你已经听说过这个概念， 我们看待此概念的方式对你来说也可能是新的。 如图所示，有∠ABC。 我们想考虑一种衡量 ∠ABC大小的方式。 一种思路是 着眼于这个角所对的弧长。 在这个例子中，它所对的是弧AC。 我们可以看到，这个角越小， 它越小，它所对的弧就越短。 它所对的弧长就越小。 反之，这个角越大， 像我现在画的这样， 相应的弧长也越大。 所以我们是否可以把角的大小 定义为其所对的弧的弧长？ 这是不是一个好标准呢？ 部分同学应该立马意识到有问题。 因为一个角 所对的弧长， 并不只取决于这个角， 这个角的大小。 它还取决于圆的大小。 圆的半径越大， 你得到的弧就越长。 比如，让我再此处添上一个圆。 这个角的大小保持不变， 圆心角∠ABC， 大小保持不变， 但它在两个圆中 所对的弧是不同的。 在新圆中的这个弧， 让我们称它为弧DE。 弧DE的长度， 并不等于弧AC的长度。 由此可见，我们并不能单纯 用一个角做圆心角时所对的弧长 来衡量这个角的大小。 所以我们可以把这个等号擦掉。 那我们能怎么做呢？ 你或许已经意识到，图中我所画出的 两个扇形， 你可以称它们为扇形ABC和扇形DBE， 它们是相似的。 我们可能还不习惯把两个扇形称作“是相似的”， 但所谓“相似”是什么意思呢？ 当你能够通过刚体变换加放缩变换， 从一样东西映射到另一样东西， 从一个形状映射到另一个形状时， 我们就说两者“是相似的”。 在我们的例子中，从扇形ABC出发， 一定存在一个大于1的比例， 能让你通过放缩变换， 让它变成扇形DBE。 有趣的是， 两个图形是相似的， 意味着两者间对应组分的比例 将是相等的。 比如，弧AC的长度， 比上线段BC的长度， 将等于 弧DE的长度比上线段BE的长度。 也许这会是度量角的大小的 一个好标准。 实际上，这的确是在几何、三角学， 乃至整个数学领域被广泛应用的一种度量方法。 我们称它为角的弧度制大小。 它等于 角所对的弧长 比上圆的半径。 在刚才的两个圆中我们都能看到这一点。 现在让我们看个更具体的例子。 比方说，我们在此处有一个圆， 这是它的圆心。 我们把圆心记为F。 然后让我们在此处画一个角。 实际上我可以画一个直角。 我们把圆心记为F。 把这个点记为G， 这个点记为H。 假设该圆的半径为2米， 那么∠GFH所对的弧长 应该是多少？ 嗯，它应该是整个圆周长的1/4， 就像我所画的这样。 而整个圆的周长， 你可以把它写在这里， 圆周长等于 2π乘以半径， 也就是2π乘以2米， 等于4π米。 假如这个弧长等于圆周长的1/4， 它就应该等于π米。 于是，基于这个弧长以及这个半径， ∠GFH在弧度制下的大小应该是多少？ 我们可以说∠GFH在弧度制下的大小 等于它所对的弧长 比上半径。 也就是π米比上2米。 上下单位抵消， 最终得到π/2。 π/2个什么？ 嗯，我们可以称之为π/2个弧度（radians）！ 我们为什么称之为「弧度」（radians）呢？ 这名称看上去很接近单词「半径」（radius）。 一种解释是，当我们用此处的弧长 除以半径时， 相当于是在求几倍的半径 才等于问题中的弧长。 比如，在这个例子中， 1倍半径长的弧大致有这么长。 假如你只取1倍半径长的弧， 它就只走到这儿， 所以你能看出1/4圆周应该等于1点几倍的半径。 这就是为什么你也可以称之为 1点几倍的弧度（radians）。 假如你用π除以2， 就会得到一个略大于1的结果， 你将得到， 差不多1.57。