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课程: 高中几何 > 单元 8

课程 10: 切线的特性

难点突破：半径&切线

求解两个有挑战性的问题：利用切线的性质找出该圆切线连接的半径。

问题 1

\overset{\leftrightarrow}{A C}

与圆

O

在

C

点相切。

$\overset{―}{O C}$ ‍ 的长度是多少？

个单位长度

因为

\overset{\leftrightarrow}{A C}

正切圆于点

C

，经过点

C

的半径垂直于切线。这说明

∠ A C O

的度数为

90^{\circ}

。

我们可以用毕达哥拉斯定理去解决

\overset{―}{O C}

的长度。

我们需要知道

\overset{―}{O A}

的长度

我们知道

A B = 2

，

B O = O C

因为他们都是圆的半径。

$O A = A B + B O$ ‍
$O A = 2 + O C$ ‍

现在, 我们已经有了

A O

长度的表达式, 我们可以解决

O C

的长度。

$\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & = O A^{2} \\ 4^{2} + {O C}^{2} & = (O C + 2)^{2} \\ 16 + {O C}^{2} & = {O C}^{2} + 4 O C + 4 \\ 12 & = 4 O C \\ 3 & = O C \end{aligned}$ ‍

$\overset{―}{O C}$ ‍ 为 $3$ ‍ 个单位长度。

问题 2

\overset{\leftrightarrow}{A C}

与圆

O

在

C

点相切。

$\overset{―}{O C}$ ‍ 的长度是多少？

个单位长度

因为

\overset{\leftrightarrow}{A C}

正切圆于点

C

，经过点

C

的半径垂直于切线。这说明

∠ A C O

的度数为

90^{\circ}

。

我们可以用毕达哥拉斯定理去解决

\overset{―}{O C}

的长度。

我们需要知道

\overset{―}{O A}

的长度

我们知道

A B = 18

，

B O = O C

因为他们都是圆的半径。

$O A = A B + B O$ ‍
$O A = 18 + O C$ ‍

现在, 我们已经有了

A O

长度的表达式, 我们可以解决

O C

的长度。

$\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & = O A^{2} \\ 30^{2} + {O C}^{2} & = (O C + 18)^{2} \\ 900 + {O C}^{2} & = {O C}^{2} + 36 O C + 324 \\ 576 & = 36 O C \\ 16 & = O C \end{aligned}$ ‍

$\overset{―}{O C}$ ‍ 为 $16$ ‍ 个单位长度。

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