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主要内容
当前时间:0:00总时长:8:41

证明:半径与切线垂直

视频字幕

题目中这个图形是一个圆 圆心是点O 这个圆有一条切线 我给这条线做一下标记 记为直线L 我们可以看到点A 是直线与圆相切的点 我们已经从圆心向切点A 作了一条半径 那么我们要在这个视频里展示的 是证明这条半径 与这条切线间的夹角为90度 我们要证明 这两条线互相垂直 要解这道题 首先我们要证明的是 点A是直线L上 距离圆心最近的一个点 我要证明 点A是直线L上 距离点O最近的 一个点 我鼓励你们暂停视频 先自己证明一下 要证明这个命题 先设想直线L上任意一个其他的点 选择直线L上别的任意一点 可以是这个点 也可以是那个点 还可以是这个点 你立刻就能看到这些点都在圆的外面 我就选这个点吧 这样看得清楚一点 如果点位于圆外 我把这个点记作点B 从圆心O到这个点B的距离 首先包含一个圆的半径 这一段就是圆的半径 然后你要沿着这个方向继续 多出这样一段长度 因此,线段OB的长度 显然是要大于圆的半径的 因为你要首先作一个半径的长度 才能到达圆上的一点 然后还要继续作线段 才能到达圆外的一点 因此,点A才是直线上 唯一一个位于圆上的点 根据定义,这条直线是圆的切线 直线L上任意其他一点都在圆外 那个长度要大于半径 希望你现在对这道题的感觉好一点了 因为你选择点A以外的任意一点 都在圆的外面 那个点到圆心的距离都要大于圆的半径 因此点A是直线L上距离圆心最近的点 希望这能让你感觉好一些 我们还没解完这道题,现在需要证明的是 假设我们有一个点和一条直线 如果连接这个点和直线上距离该点最近的一个点 得到的线段将垂直于这条直线 让我们把这个题目拆解一下 我们想要证明的是 连接 直线外的 一点 与直线上距离该点最近的 一点的线段 垂直于 这条直线 这其实说的是 如果我们有一条直线 设为直线L 你想在直线外 任取一点 比如这个点 记为点O,你想要作一条连接 直线外这一点与直线上距离它最近的一点的线段 我们不妨设这一点 就是直线上距离它最近的一点 让我换一个颜色 我们想要确认的是 连接这两点的线段 垂直于这条直线 看上去是这样的 它们互相垂直 我要用反证法来证明这个命题 假设它们并不互相垂直 假设 有这样一条线段 它连接了 直线外一点 和直线上距离该点 最近的一个点 而这条线段 不与这条直线 垂直 我要怎么画出来这个假设呢? 我可以把这条线画在这儿 这是直线L 假设我的点O在这里 假设直线L上距离点O 最近的点不在这里 而在这个位置 我把这两点连接起来 这条线段不垂直于直线L 这是距离点O最近的一点 记作点A 假设连接这两点的线段 不垂直于这条直线 假设它们不互相垂直 那么这个角 就不是90度 如果用反证法 来解这道题 我们要证明的就是如果这不是90度 我就一定能在直线L上 找到另外一点 那个点距离点O的距离比这个点更近 也就是说另外那个点才是直线上距离点O最近的点 这就和点A是直线L上距离点O最近的点的条件矛盾了 我怎样能找到距离更近的一点呢? 我可以作一个直角三角形 就像这样 作一个直角三角形 我们可以看到这一段距离 我们记作a 我们把这个三角形的底边记作b 我换一种颜色 这是a,这是直角三角形的底边 线段OA是它的斜边 我们记作c 根据毕达哥拉斯定理(勾股定理) a的平方 加上b的平方 等于c的平方 如果我们这个是非退化三角形(面积不为0) 这个值肯定是正的 所以a 我们可以得出结论 如果这个值是正的 a和c也是正数 所有的长度都是正的 那么我们可以断定a一定小于c 也就是说一个非退化的直角三角形的 一条直角边 长度一定小于斜边 斜边是最长的边 因此a 如果a 那么我们就能找到另一点 我们这里用了很多字母 我们就把这个点记为点D 到点D的距离是更近的 这里我们就出现了矛盾 我们假设点A是直线L上距离点O最近的点 但我们又假设连接O、A两点的线段 与直线的夹角不是90度 如果这不是直角 那我们就一定能作一条垂线,并找到距离更近的一点 这就和点A是距离最近的点 这个假设条件相矛盾了 这道题就出现了自相矛盾的地方 因为你能证明这个点并不是距离最近的点 而且你能找到更近的一个点 因此,连接直线外一点 与直线上距离该点最近的点的线段 必然垂直于该直线 因此连接直线外一点 与直线上距离最近一点的线段 必然垂直于该直线 这就证明完了,希望你现在已经清楚怎么做了 圆上的任意一条半径 与和该直径相交的圆的切线 形成90度的夹角 这条半径与这条切线互相垂直