主要内容
高中几何
全等和相等的概念
学习何时在几何证明中应用同余具有反身性、传递性和对称性的性质。学习相等度数与相等图形之间的关系。
论证的方法有很多，有些方法相较其他方法更为正式。在非常正式的证明中，我们会向你证明那些看似明显的命题。我们证明它们的原因是，这些说法只对某些类型的关系有效。例如，在相等关系中成立的命题，在不等关系中就不一定成立。
我们一起看一下这些属性。我们用符号\bigstar来表示一个未知关系。
反身性
当关系 \bigstar 拥有反身性时，这表示这一关系对于一个事物和其自身之间成立。因此 A, \bigstar, A。
有哪些关系具有此属性？
| 关系 | 符号 | 例子 |
|---|---|---|
| 等式 | equals | minus, 5, start fraction, 3, divided by, 8, end fraction, equals, minus, 5, start fraction, 3, divided by, 8, end fraction |
| 全等 | \cong | angle, M, N, P, \cong, angle, M, N, P |
| 相似三角形 | \sim | triangle, M, N, P, \sim, triangle, M, N, P |
我们常常在有共用边或共用角的图形运用反身性。
当我们解析triangle, M, N, Q和triangle, P, N, Q的关系时，由于反身性，我们会提到start overline, N, Q, end overline, \cong, start overline, N, Q, end overline。
有哪些关系不具有此属性？
严格不等式没有反身性。例如，3, \nless, 3。
成为某人的母亲也不是一种反身性。我不是我自己的母亲。
对称性
当关系 \bigstar 具有对称性，这表示如果此关系对两件事物成立，那它是双向成立的。如果 A, \bigstar, B，那么 B, \bigstar, A。
有哪些关系具有此属性？
| 关系 | 符号 | 例子 |
|---|---|---|
| 等式 | equals | 如果 8, equals, 11, minus, 3，那么 11, minus, 3, equals, 8。 |
| 全等 | \cong | 如果 start overline, V, W, end overline, \cong, start overline, X, Y, end overline，那么 start overline, X, Y, end overline, \cong, start overline, V, W, end overline. |
| 相似 | \sim | 如果 A, B, C, D, \sim, L, M, N, P，那么 L, M, N, P, \sim, A, B, C, D。 |
| 平行 | \parallel | 如果线段 m, \parallel 线段 n，那么线段 n, \parallel 线段 m。 |
| 垂直 | \perp | 如果 S, T, with, \overrightarrow, on top, \perp, U, V, with, \overleftrightarrow, on top，那么 U, V, with, \overleftrightarrow, on top, \perp, S, T, with, \overrightarrow, on top。 |
在很多人看来，友谊也是一段对称关系。如果小雅是小克的朋友，小克也是小雅的朋友。
有哪些关系不具有此属性？
严格不等式不具有对称性。例如，10, is less than, 100，但 100, \nless, 10。
成为某人的母亲不是一种对称关系。如果凯琳是小萨的母亲，小萨不可能是凯琳的母亲。
传递性
当关系 \bigstar 具有传递性，那么此关系对有共同中间者的两件事物之间也成立。若 A, \bigstar, B 且 B, \bigstar, C,，那么 A, \bigstar, C。
有哪些关系具有此属性？
| 关系 | 符号 | 例子 |
|---|---|---|
| 等式 | equals | 若 m, angle, F, equals, m, angle, G 且 m, angle, G, equals, m, angle, H，那么 m, angle, F, equals, m, angle, H。 |
| 全等 | \cong | 若 triangle, R, S, T, \cong, triangle, W, X, Y 且 triangle, W, X, Y, \cong, triangle, F, G, H，那么 triangle, R, S, T, \cong, triangle, F, G, H。 |
| 相似 | \sim | 若圆 A, \sim 圆 B 且圆 B, \sim 圆 D，那么圆 A, \sim 圆 D。 |
| 平行 | \parallel | 若 start overline, J, K, end overline, \parallel, start overline, L, M, end overline 且 start overline, L, M, end overline, \parallel, start overline, N, O, end overline，那么 start overline, J, K, end overline, \parallel, start overline, N, O, end overline。 |
有哪些关系不具有此属性？
垂直不具有传递性。
在图中，start overline, A, B, end overline, \perp, start overline, A, C, end overline 且 start overline, A, C, end overline, \perp, start overline, C, D, end overline，但 start overline, A, B, end overline平行于，而非垂直于 start overline, C, D, end overline。
友谊也不具有传递性。若小艾是小罗的朋友，小罗是小娜的朋友，我们不知道小艾和小罗是否为朋友。
等式与全等
相等与全等联系紧密，但有所不同。我们用等式表示任何可以用数字传达的信息，包括计量、比例和比率。
| 值 | 例子 |
|---|---|
| 角度测量 | m, angle, A, plus, m, angle, B, equals, 90, degree |
| 线段长度 | M, N, equals, P, Q, equals, 5 |
| 面积 | 区域 D, E, F, G, equals, 81, start text, c, m, end text, squared |
| 比例 | start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, J, K, divided by, K, L, end fraction |
我们用全等和相似关系形容几何图形中的关系。我们不通过运算，例如加法和乘法，来表示几何图形中的关系。
| 图像 | 例子 |
|---|---|
| 角度 | angle, A, \cong, angle, C |
| 线段 | start overline, M, N, end overline, \cong, start overline, P, Q, end overline |
| 多边形 | triangle, D, E, F, \sim, triangle, G, H, I |
| 圆 | 所有圆都是相似的。 |
有三大定理对相等与全等关系非常有帮助。
- 若且仅若两角大小相等，两角全等。
- 若且仅若两线段大小相等，两线段全等。
- 若且仅若三角与三边大小相等，两三角形全等。
如下图所示，已知A, B, equals, C, D, equals, 3, point, 2。
在正式的论证中，我们需要一条辅助线证明 start overline, A, B, end overline, \cong, start overline, C, D, end overline。 更为简便的证明方式为互换使用相等和全等。和同学一起讨论哪个方法更加合适！