主要内容
线段全等即为有相等的长度
两条线段成全等，当且仅当他们有相等的长度。
视频字幕
- [讲师] 这里有几个定义 对于接下来证明 线段全等和其长度相等的统一性 是很有用的 首先 是刚性变换 在其他视频中提到过 这里再重温一下刚性变换就是 保持点与点之间距离不变的图形变换 比方说，我有点A和B 刚性变换就是说 经过变换之后 点与点之间的距离保持不变 就像这样 旋转也是一种刚性变换 假设我以点A为中心对它进行旋转 这个不会改变 点A和点B之间的距离 镜像变换也是一种刚性变换 再强调一次，这种变换不会改变 点A和B之间的距离 那什么样的变换不是刚性变换呢？ 能想到的一个是缩放 把图形缩小或放大 那是肯定会改变点与点之间距离的 刚性变换是任意一种 保持点与点之间距离不变的变换 另一个相关的概念是全等 在这个视频中，我们要考察的 两个图形全等意味着 存在一系列刚性变换 能够把一个图形 变成另一个图形 你可能接触过其他全等的定义 这里我们要用的是 从刚性变换角度下的全等的定义 我们要用这两个定义来证明 两条线段全等 和两条线段长度相等是同一的 让我把这里空出来进行证明 首先，我来证明如果线段AB 与线段CD是全等的 那么线段AB的长度 就等于 线段CD的长度 怎么证明呢？ 首先要知道的 是如果AB 与CD全等 那么AB的图像就可以 通过刚性变换 变成CD的图像 这是从全等的定义得出来的 然后我们可以说 因为变换是刚性的 距离是不变的 那就意味着 点与点之间的距离 是相同的 点AB之间的距离也就是线段AB的长度 就等于线段CD的长度 这对你来说可能是显而易见的 不过我们今天讨论的就是这个 看我们能用另一种思路进行证明 看看我们能否证明如果线段AB 与线段CD长度相等 那么线段AB即全等于线段CD 让我把图做在这边 这里是线段AB 再做一条相同长度的线段 差不多就是这样 我们把它记做线段CD 我要证明的是 假设有两条相同长度的线段 必然存在一系列刚性变换 能够让一条线段转到另一条线段上 也就是说令它们全等 我现在就来做这样的变换 我要做的第一步是 图形旋转 我对变换的名称进行标记 首先线段AB上点A会转到点C上 很显然，总能找到一个旋转 可以完成这个变换 就像这样，当然是可以旋转过来的 B转过来以后就是这样 旋转后，A在这里 B就在 这里 我第二步要做的是 围绕点A旋转线段AB A是旋转的中心 我要旋转这个线段使点B落在射线CD上 这个变换的结果是什么呢？ 因为点A是旋转的中心 A会留在点C这个位置上 这是第一次旋转的结果 但现在B也转了 它会落在射线CD上 那么B具体的位置会在哪里？ 因为B和A之间的距离 等于D和C之间的距离 A和C又是同一个点 B落在这条射线上点D的位置 因为AB等于CD B会刚好旋转到 点D的位置 我们已经证明了如果线段长度相等 必然存在一系列刚性变换 能够让一条线段转成另一条线段 因此，由于A和B转成了点C和D 我们知道线段AB全等于线段CD 这个命题 我们就证明完了