用变换证明三角形的ASA和AAS全等标准

－【教师】在本视频里要讲解的是 两个三角形如果 有一条边长度相等， 比如说这两个三角形中 蓝色的边的长度相等， 而且它们有两个对应 的角的大小也相等， 比如这两个灰色的对应角的 大小相等，还有这个桔色双弧 所标示的角 ACB 等于角 DFE。 我们要证明如果有两个角 及一条边相等， 我们总是可以通过一系列刚性转换 让这两个三角形重合。 换句话说，按照刚性转换的全等定义， 这两个三角形全等。 这里我写了角边角及 角角边是表示这 两种情况是等同的。 如果你已经知道三角形的两个角， 那么你就知道第三个角的大小。 比如按照本例的情况， 如果我们得知有 两对对应角相等， 那么就意味着第三对 对应角也相等。 就是我们推断这对角也相等。 因此认真想一下， 如果你得知两个对应角及其夹边相等， 就等同于任意两个对应角及任意一条对应边相等。 原因是两个三角形只要 有两对对应角相等， 第三对对应角也要相等。 所以我们只要证明通过一系列的刚性转换， 三角形 ABC 就能变成 DEF。 可以想象首先 我们已经证明两条等长 的线段是全等的。 可以通过一系列刚性转换把一条线段 变成另一条等长的线段。 对于本例我需要 把线段 AC 变成 DF。 可以进行的变换 是把点 A 平移到点 D， 并称之为 A'。 完成这个变换后， 线段 AC 看起来是这样的。 我现在把它画出来。 它的指向是这样的。 这时，作为整体，三角形的 其它部分也随之平移下来。 因此该三角形的桔色的边 AB， 就会移动到这里。 然后我们可以再做一个刚性变换， 就是绕点 D 或点 A' 旋转， 旋转的结果 D 和 A' 保持在同一点， 但是点 C 要移动到和 F 点重合。 就这样，通过 两次刚性变换，可以把 AC 变换到 DF 的位置。 现在点 A'，就是从点 A 变换而来的，就是点 D， 而点 F 就是点 C'。 问题是点 B 经过变换后在什么位置呢？ 这里需要指出的是 经过变换角度不变。 既然角度不变， 那么结果变换以后， 原三角形中的角 CAB 也不变。 这样经过变换以后，这里是 C'，这里是 A'， 则 B‘ 就应该在这条线上。 如果角 CAB 不变， B' 就应该在这条线上。 一个角的大小由两条 交汇于一点的直线所确定。 这个角保持不变， 它是由这两条线所确定的。 就是 CA 及 CB。 我们知道 B’ 也在这条线上。 B‘ 也在这条线上， 我想你可能看出来下面的结论。 因为这两个角都 保持不变，B’ 就 必须在这两条线上， 就是在这两条线的交点， 而这一点和点 E 重合。 所以这就是 B' 的位置。 因此我们通过这些步骤证明了 进行一系列的刚性变换可以 把这个三角形转换为这个三角形。 还有另一个情况。 当然经过变换角度没有变化。 但是与前面讨论的 不一样，变换后 三角形不再处于 这条蓝线的右下方， 而是在另一边， 它的角保持不变。 就是这样角的大小 保持不变，只是在另一边。 这种情况下， B' 在哪里呢？ 我现在来把这个 情况认真画一下。 我来画一个同样大小的角。 我先在这里用圆规画一段圆弧， 然后量一下这个距离。 就这样以圆规来量。 我们在其它视频里介绍过这个方法， 用以画一个同样的角。 因此原来这个角上，用圆规 在弧线上量是这么远，而在 新的一边也要这么远。 所以如果三角形在这条线的这一边， 这是边 DF 或者称为 A'C'， 我们知道 B' 一定 在这条线上。 我把这条线画清楚，B' 就 一定在它上面某一点。 而且 B' 也一定在三角形的 另一个角的边所在的直线上。 我来试着尽量准确地画这条线。 还是先画 这么一个圆弧。 我的圆弧画得大了一些， 就是希望能准确一些。 还是以圆规量这段距离。 然后用所量得距离在前面画的 弧线上得到这个交点。 这样点 B' 就应该 也在经过这两点 的直线上某一点。 就是在这一条直线上。 可以看到这两条直线 在这里相交。 因此如果三角形的角不变， 但是通过一系列刚性变换它们到了蓝线的另一边， 点 B‘ 就应该在这里。 这种情况下，我们可以对蓝线 左上的三角形加做一个刚性变换， 就是让它以 DF 或 A'C' 为轴 做对称反射变换。 为什么 B' 可以变换到与 E 重合呢？ 因为反射变换也是刚性变换， 角度不变。 所以当这个角反射到另一边，它的大小不变。 而当这个角反射到另一边， 其大小也保持不变。 这样我们又回到第一种情况， 这两条直线也反射到这边， 点 B' 就得在这个交点上。 这样我们就完成了证明。 对于三角形如果 你知道了其中两个角， 第三个也就知道了， 如果两个三角形有两个 对应的角和一条对应的 边相等，那么意味着 它们是全等三角形。