用变换证明三角形的SAS全等标准

在本期视频我们要做的是 假设我们有两个不同的三角形， 其中两组对应边 长度分别相等， 比如说这条蓝边和 这条蓝边长度相等， 然后这条橙边和 和这条橙边长度相等。 然后这两条边的夹角， 这里有两个对应角了， 它们角度也相同。 所以我们就可以通过，边、角、 边，然后边、角、边。 如果这些边长和角度都相同， 我们就可以得出结论 这两个三角形是全等三角形， 根据刚体变换的全等定义来说。 简单来说就是， 如果边、角、边都相同， 角指的是这两条边的夹角， 那么这两个三角形就是全等的。 为了证明这个是对的， 为了得到这个结论， 我们不得不说 通过刚体变换 如果边、角、边都相等的话 我们可以将一个三角形移动到另一个三角形上。 我们可以通过一系列的 刚体变换， 然后得益于刚体变化的定义 就可以证明两个三角形全等。 首先我们要做的是 从最开始看 有两条边长度相等， 比如说AB段和DE段。 如果两条线段长度相同 那么它们就是全等的。 通过刚体变换，你可以随时 将其中一条线段移动到另一条线段上。 在这一题中我们的做法是 将点B重叠在点E上。 所以现在这里就是B'。 如果我们刚才做了这样的变形， 如果刚做了这样的变形， 那么这一条边，哎呀，那么边长BA就会， 橙边就会是这样的。 然后我们再做另一个刚体变化 将点E，或者说B‘， 旋转这条橙边， 以及整个三角形，转到DE上。 在这个时候，当我们完成了第二个刚体变换后， 点A就会和点D重合。 或者说A’就是D。 但问题是，点C现在在哪呢？ 那么，我们已知AC之间的距离。 实际上，我们可以用圆规来画。 点A和点C之间的距离就是这一段。 因为所有的 这些刚体变换都保证了距离不变， 我们已知C‘，也就是在 前两次变换后的点C。 C’跟A‘之间的距离 保持不变。 因为C’大概就在， 在这条弧上。 我们同样已知 刚体变换保证了角度不变。 因此我们已知当我们在移动图像的时候， 这个角度保持不变。 所以边长AC会变换到 这里这条边，在这个情况下 F同样也是C‘。 然后我们会发现这个刚体变换 是基于SAS的，所以 这两个三角形是全等的。 但还有另外一种可能性 角度是这样转换的， AC移动到了这里。 所以这是AC边的另一个可能的位置， 通过刚体变换得到的， 或者说通过第一次刚体变换， 就会像这样。 看起来就是这样。 无论在哪种情况下，C’都会在这里。 那么这样的话， 我们就可以再做一次刚体变换。 我们通过DE进行镜面对称， 或者说A‘B’，对称得到C‘ 然后来到了这里。 我们怎么知道C’和F重叠呢？ 那么，通过刚体变换 这个角度不变。 如果翻转过来，关于DE进行镜面对称， 那角度就不变。 所以A’C‘就会跟DF重叠。 这样就做完了。 我们展示了 通过一系列的刚体变换， 只要符合SAS的标准， 就可以将一个三角形和零一个三角形重叠。 所以，它们就是全等的。