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主要内容

几何应用题:地球和月球的半径

视频字幕

地球和月球 二者的尺寸关系 构成了一个黄金三角 黄金分割比用Ф来表示 它是唯一一个 自己的平方比自身大1的数字 可汗学院有一个专门介绍Ф的视频 我推荐你们看看 会让你赞叹不已。 如果你看了那个视频再过来做这道题目 一定会觉得更震撼。 我们还是先来解这道题 Ф + 1=Ф^2 这个式子十分简洁 这里已经列出了Ф的近似值 约等于1.61803 它的小数部分可以无限延伸下去 加上1就是1.61803……无限延伸下去的这个数的平方 等于2.61803 这只是用另一种形式来表达 题目将毕达哥拉斯方程套入这个方程里 就构成了一个三边分别为Ф、Ф的平方根和1的 直角三角形 这是什么意思? 这个看起来有点像毕达哥拉斯方程 即毕达哥拉斯定理(勾股定理) 如果把这个计作a的平方,这个是b的平方 这个是c的平方 你就可以把这里的数量关系 看成一个直角三角关系三边长度的关系 其中斜边c就是Ф 短的直角边就是1 1的平方根还是1,长的直角边 而不是三角形的最长边 就是Ф的平方根 这里的第一句话就是这个含义 这里是很让人兴奋的 如下所示,地球和月球的半径 是成一定比例的 这很激动人心 让我换个颜色,你就能看清楚了 取地球的半径 就是这条半径 我还是想换个颜色,这还是不对劲 如果取地球的半径 与月球的半径相加 二者之和与地球半径之比 就是Ф的平方根 这会给你用一种新的视角 来看待这个宇宙 此刻,你应该暂停视频,认真思考 谁会关心这个问题呢? 当然也要回答这个问题 这个现象还是挺奇怪的 因为黄金分割比不止出现在这里 它的足迹遍布了自然界和数学领域 这个数字有无数个让人着迷的原因 是个很有意思的现象 不管怎样,我们都要解这道题 如果地球的半径是6,371千米 那么月球半径是多少? 让我们来重新画一下这个三角形 以千米为长度单位 这里的长度 都用地球半径来表示 如果这是1个地球半径 那么地球和月球 半径之和的总长度 就是Ф的平方根倍的地球半径 这个三角形的斜边长就是Ф倍的地球半径 这就是以地球半径来表示各边长度 我们来重新画这个三角形 以实际的千米数来表示长度 我尽量画成和它相似的三角形 我们用实际距离的千米数来表示长度 我画的是一个草图 地球在这里 我只画地球的一部分 不需要把整体画出来 你明白我的意思就好 这里是月球 能看懂就行 题目告诉我们地球半径是6,371千米 这是三角形的高 这个直角三角形的高就是Ф的平方根倍的地球半径 如果我们用千米数来表示长度 那就是6371×Ф的平方根倍 Ф平方根×地球半径 这是这一整段距离的长 题目现在要我们求出月球半径 就是这一段距离的长 我们设月球半径为r 我们怎么解呢? 我们也知道这边的线段是什么 这一条绿色的线段 也是地球的半径 地球的形状接近一个球体 我们可以说这一段距离 也是6,371千米 这就化成了一个非常简单的问题 半径之和可以用两种形式来表示 我们可以把它表示为月球半径加上地球半径 地球半径是6,371千米 我们可以假设现在所做的计算 都是以千米为单位的距离 我们可以把两个半径之和 表示为6371 × Ф的平方根 再强调一次,两个半径之和是 Ф的平方根×地球半径 这里我们就用地球半径把它表示出来了 而这里我们是用千米为单位的长度来表示的 这是地球的半径 用它乘以Ф的平方根 就得到了二者半径之和 现在我们只需要求出r 我们可以在两边同时减去6,371 就得到了r=6371×Ф的平方根-6371 我们可以从这两项里把6371提出来 这样就得到了 r=6371×(Ф的平方根-1) 这道题就解出来了 结果的表达非常简洁,很酷