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使用相似和全等三角形

在这个多步问题中,Sal 使用了三角形的相似性和其它三角形的全等性来求解多边形的面积。 Sal Khan 创建

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现在我们讨论的这道题中三角形ACE是等腰三角形 这就是那个大三角形 等腰意味着三角形有两条相等的边而且我们也知道 两个底角的度数也是一样的 也就是这两个角必须是一样大 右边的这条边 必须和这里的这条边长度相当 我们可以说AC与CE相等 这是我们从第一个条件得到的结论 接着题目给我们另外一些线索 它说CG长度为24 这就是CG边 它的长度是24 题目还说BH和DF边相等 所以这两个三角形是全等的 题目说GF长度为12 这就是GF 并且它的长度就是这里的12 最后一个条件是FE长度为6 题目需要我们求CBHFD的面积 也就是说题目要我们求这一块 的面积 这一块和那一块就是CBHFD 看看我们应该怎样搞定 我们首先可以求出大三角的面积 然后我们把这一小块的面积减掉 我们就知道中间这块的面积了 就是这片阴影的面积 但是我们还没有足够的信息 我们不知道这个三角形的高 我们也不知道底长 我们知道底乘高除以二就是面积 所以我们需要减掉这部分面积 可惜我们的信息还不够 我们不知道这个高 一旦我们知道 我们就可以解决问题了 但是我们还需要知道 这个边的长度是多少 我们慢慢来 我们需要做的第一件事或许你会猜 是我们已经谈论很多次的相似性 我们来找些相似性 这里有一堆相似三角形 比如三角形CGE和DFE共享一个角 这个橙色的角 同时它们也共享右边这个角 所以这两个三角形相似 我们可以推断一定还有还有第三个角 一样 因为这是两条平行线 我们得出结论三角形CGE和DFE相似 这是根据角角定理得出的 我们讲过同位角的概念 这个角属于两个三角形 所以它是同位角 既然我们知道他们是相似的 我们就可以建立边与边的比例 我们已经有一些边的数据 就可以计算出边DF 和右边这条对应边的比例 也就是DF和CG的比率 CG的长度是24 而这个比率和长度为6的FE与 长度为12加6等于18的边GE的比例相等 6比18就是1比3 所以DF的三倍等于24 我刚刚用了交叉相乘或者两边都乘以24 乘以三就可以得到了 实际上你可以两边同乘24 然后用24乘以三分之一 也就是除以三得到DF的长为8 现在我们知道DF长为8 这很有用 因为我们知道右边那条边也是8 现在该干啥呢 我们可以建立 另一对相似关系 我们已经知道这个角 和那个角相等 我们也知道这个角是90度 这是题目告诉我们的 这样我们就得到了两个相似三角形 我们不用证明有相等边 就能证明这是两个全等三角形 也就是那两个 我们知道两个角并且直接用这个条件 因为需要证全等 如果一个角和另一个角相等 另一个角和第三个角相等 并且两个全等三角形中的一边 和对应边相等 我们用粉红色这里标记这个三角形 三角形AHB和那个就全等了 你还需要知道对应的顶点 可以读出三角形EFD并且我们知道 全等的角角边条件 如果知道两个三角形全等就好办多了 这边是8 那条边也就是8 这样建立了全等后就意味着 如果这条边长度为6 那对应的那条边 的长度也就是6 我们可以在这里标记长度为6 现在可以想象所有我们需要 证明的东西 我们要求面积 不要以为这也许跟刚刚一样 我们来证明看看 我们怎么判断我们已经差不多做出来了 但是HG的长度还没求出来 我们再用一次相似性 可以看出 三角形ABG和ACG相似 它们都有这个角和右边那个角 ABH右边那个角在那儿 ACG的在那儿 现在有一对 对应角相等 然后继续处理相似性 三角形ABH也就是AHB 不过我已经那么写了 AHB和AGC相似 找顶点的时候要按照准确的顺序 A是橙色的角 G是右边的角 C是没有标记的角 这是相似三角形AGC 这个三角形的作用就是我们可以用比例求出 HG的长 用8除以24 BH在大三角形对应的边上面 所以8除以24等于6除以不是HG 而是AG 可以看出来吧 三分之一等于6除以AG 或者可以用交叉相乘发的到AG等于18 所以整个右边的长就是18 HG的长是12 这个就是当初尝试猜测的 的答案 现在我们已经证明这个底长 就是18 再加上另一个18就得到36 整个底长就是36 便可以求出这个更大的 等腰三角形的面积 ACE的面积就等于底乘高除以二 就是36乘以24 这里也一样用36的一半是18 我就写在上面这里 18乘以24 8乘以4就是32 1乘4得4 加上3等于7 在这儿加个0 因为我们算的是20而不是2 2乘以8得16 2乘以1得2 加上1就是3 这里是2 7加上6得13 1加3得4 ACE的面积就是432 但我们还没完全搞定 我们要求的面积 是整个三角形减去这一块面积 再减去右边那里的面积 每一块的面积 又是多少呢 这里是8除以2乘以6 8的一半是 4 然后乘以6 这里就是24 那边一块的面积也是24 所以就是432减去两个24 就是48 我们也可以换个算法 先减去32得到400 再减去剩下的16 用400减去10得到390 最后得到384不管单位是啥 如果单位是米的话面积就是平方米 如果是厘米的话最后就是平方厘米 我做的没错吧 来检验下我加上8得到40 24加上8得到432 恩 搞定