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主要内容

求解相似三角形:同一条边扮演不同的角色

在这道题中,同一条边在两个相似三角形中扮演了不同的角色,Sal 求解了未知边长。 Sal Khan 创建

视频字幕

这道题要求计算 BC 边的长度 这里已知有几个三角形和一些边长 其中有几个直角 我们大概需要在找一些相似三角形 事实上有三个不同的三角形 这个,这个,还有这个大三角形 如果我们能找到相似三角形, 就能利用对应边的比例关系 计算出 BC 边的长 我们看,这有一个直角 在三角形 BDC 中有一个直角 在三角形 ABC 中也有一个直角 假如还能找出一组公共角 或者另外的一组对应角相等的话 那就能证明它们相似 事实上,这两个三角形 BDC 和 ABC 共有这个角 这是个公共角,这样它们就有两组角相等 它们是在那儿有个公共角 让我换一种颜色 把这个角与那些直角区别开 它们在那儿有个公共角 所以我们得出 这两个三角形 它们至少有两组角 至少有两组相等的角 它们是相似的三角形 我们知道三角形,我这样写 三角形 ABC 我们从这个没有标注的角开始写 然后黄色的直角 再到橙色的角 让我这样写 未标记的这个角A 到橙色角,错了是黄色角 B 我不擅长颜色 到橙色角C,三角形 ABC 这儿我们要仔细地写 因为同一个点在不同的三角形中 可能并不是对应的 我们要对应着写 白色的顶点,然后是直角点,然后橙色点 它相似于, 哪一个点,既不是直角顶点—— 我们是在看这个小三角形 哪一个顶点,既不是直角 也不是橙色的角?应该是顶点 B 在大三角形中,顶点 B 是直角 当时我们没考虑这个小角 所以我们从 B 点开始,然后是直角 直角点 D,顶点 D 再到橙色点 C 我们已经证明出它们是相似的了 既然我们已经知道它们相似, 我们就能列出对应边的比例关系 我们来考虑,我们知道 AC 的长度 是 6 加 2 等于 8 我们已经算出 AC, 在相似三角形中 AC 与谁对应呢? 可以通过观察字母的对应 A 和 C 对应 B 和 C 第一个字母第三个字母 AC 边对应 BC 边 这里有点意思, 因为我们已经用到了BC 接着对应的是什么呢 让我们看看大三角形里面的BC 如果看大三角形中BC的话 BC在小三角形里面应该对应哪个边呢 应该对应DC边 这很不错 因为我们已经知道了AC和DC的长度 这样我们就可以解出BC 我再说一遍这个式子 这里 BC 是两个角色 第一个比例是来自 我们认为BC边 小三角形中的 BC 边对应大三角形的 AC 边 然后第二个比例是来自, 大三角形中的 BC 边与 小三角形中的 DC 边对应 在这两种情况下 这些是我们的大三角形 这个是小三角形的对应边 有趣的是,BC 在两个三角形中 扮演了两个不同的角色 现在可以算 BC 的长度了 我们知道 AC 是 9 对不起,AC 等于 8 AC 等于 8 6 加 2 是 8 并且 DC 等于 2,这是已知的 现在我们交叉相乘 8 乘以 2 是 16, BC 乘以 BC 等于 BC 的平方 因此 BC 的边长应该等于 16 的平方根,是 4 BC 边长为 4,搞定。 这道题最难的部分在于 BC 在两个三角形中扮演不同的角色 让你们的大脑仔细分辨这个不同 我把这两个三角形分别画出来 三角形 ABC 画出来应该是这样的 它应该是这样 这是三角形 ABC 这是直角 这是橙色角 我们知道这个边的边长是 8 我们也知道这个边长 我们解出来了,是 4 然后我们来画三角形 BDC, 三角形 BDC 应该是这样的 这就是三角形 BDC 这样看起来更容易些 分开看的更清楚 这是我们的直角 这是那个橙色的角,这个长是 4 这个是 2 这样画是为了 方便把这个三角形翻过来再旋转一下 让它们的方向一致 这样就看得更清楚了 如果你还觉得有点迷糊 你可以尝试翻转并旋转三角形 BDC 让它看起来更像三角形 ABC 这样的话,比例看起来更明显