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主要内容
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视频字幕

所以我们有一个任意三角形了 我们叫它三角形ABC 现在我想找ABC各边的中点 那么这个是BC边的中点 我们叫它D点 我们管这个叫中点E 然后我们管那个对过儿的中点叫F 然后这是中点 我们知道从BD边的距离 等于从D到C的距离 所以这个距离等于这个距离 我们知道AE等于EC 所以这个距离等于那个距离 我们还知道AF等于FB 所以这个距离等于这个距离 除了从这个中点到顶点做中线之外 我想做的是连接 这些中点 然后看看会发生什么 所以 如果我把他们连起来 很明显我们有三个点 那么如果你把三个不共线的点连起来 就像这样 你会得到另一个三角形 这个三角形就是由这个大些的三角形 各边中点构成的 我们管这个叫中点三角形 中点三角形 它确实很可爱 但是我们在这录像里要看的 是中点三角形 它其实有很多非常好的性质 我们接下来要做的是把任意一个三角形 分割成四个小些的三角形 它们四个全等 也就是这四个小三角形完全一样 而且他们还和那个大些的三角形相似 你可以把它们视作 大些的三角形的四分之一 那么让我们来证明它 首先我们看这个下边的三角形 三角形CDE 看上去和这个大的三角形相似 也就是三角形CBA 那么让我们来证明它 我们可以看到 那个角是这两个三角形的公共角 这两个 大些的三角形 也就是三角形CBA有这个角 还有小些三角形CDE也有这个角 所以他们共有这个角 那么现在我们看看边的比例 我们知道CD边的比例 我们也知道CD与CB的长度比 CD与CB的比例为二分之一 这个是整条边的一半 等于二分之一 而且这和CE与CA的比例一样 CE确实是CA的一半 因为E是中点 它等于CE比CA 所以我们有一个角和一个对应边相等 而且这个两个对应边的比例 那个角的那个边 或者等于CD比CB 也就是二分之一 CE比CA是二分之一 而且两边中间夹的角相等 所以依据边角边相似判定 边角边相似判定 我们知道三角形CDE 与三角形 CBA相似 而且就从这些你就能得到些有趣的结果 因为我们知道这些边长短些的三角形 也就是小些的三角形的边的长度 与大些三角形边的长度的比为二分之一 因为其他两边的比例也是二分之一 我们要对这些相似三角形做的就是 所以这个大约是那个的一半 而且我们知道AB的一半 也就是FA的长度 所以我们知道这里的长度 会和FA和FB相等 我们可以从相似三角形的性质直接得到这个结论 因为这些相似 我们知道DE比BA 等于这些比例 也就是那些比例等于二分之一的对应边 这也就是我们如何得到那里的那个结论 现在让我们想想这里的这个三角形 让我们想想这里的这个三角形 我们可以管他叫三角形BDF 首先我们比较一下三角形BDF和这个大些的三角形 他们共有这个角 就是角ABC 他们共有这个角 而且 同理 我们得到一样的论据 我们可以看看这个图 大家知道BA的比例 让我这么做这个比例 BF与BA的比例 等于二分之一 也是BD与BC的比 这个比和那个一样 这个与那个的比例一样也是二分之一 因为BD长度是总长的一半 BF长度是总长的一半 所以咱们有对应边是一样的比例 这两个三角形也有一样的夹角 所以又一次依据边角边相似判定 依据边角边相似判定 我们知道那个三角形 在这里 DBF 三角形 DBF相似于三角形CBA 相似于三角形CBA 然后我们用一样的原理 针对这个三角形进行讨论 如果它所有对应边的比例都是二分之一 所以相似 一定要一致 那个比例要是二分之一 所以这个边与这个边的比例 所以FD与AC的比就是二分之一 或者FD是AC的一半 也就是当AE是AC长度的一半时 所以那就是那个的长度 我想你知道接下来怎么办了 同理 因为相似 所有的对应角都相等 而且我们知道这就是那个 那个大些的三角形 有一个黄色的角 就在那里 所以我们有一个黄色的角在那里 而且这个三角形也和大些的三角形相似 所以它有一样的角 在这里 我们需要在第一部分证明它 现在让我们看看这第三个三角形 我想你发现规律了 我相信你可以暂停这个视频 然后自己证明一下 然而我们看到了AF与AB的比 会和AE与AC的比相等 AE比AC等于二分之一 所以我们有两组对应边是一样的 小三角形比大三角形的比例是二分之一 而且他们有一个公共角 这个角是两组对应边的夹角 所以依据边角边相似判定 又重复一次 我们知道的三角形EFA 三角形EFA 相似于三角形CBA 所以对应边的比值是二分之一 FB与BC的比值也需要是二分之一 或者FE需要是BC的一半 也就是BD的长度 所以这也就是那个长度 而且你也可以发现我们证明了这些后 这个三角形 这个三角形和这个三角形我们还没有用他们的中点 他们都相似于大的三角形 所以他们都彼此相似 所以他们都有一样的对应角 所以如果大三角形有这个黄色的角 那么所有的三角形都会有这个黄色的角 而且大三角形有蓝色的角在这里 那么所有三角形的对应顶点 都会有这个蓝色的角 我们已经证明所有的三角形都相似 我们还没考虑这个中间的三角形 当然 如果这个也和其他的三角形相似 它也会有这个角在这里 因为这个是对应顶点 依据相似的性质 所以这就变得很有趣 现在让我们看看 看看 让我们比较一下这几个三角形 我们已经证明这些三角形 有一样的三边 有这个蓝边或者我应该把这个标记在这边 这两个标记的边 这三个标记的边 一个标记 两个标记 三个标记 然后应用到这个中间的三角形这里 然后依据边边边 然后依据边边边全等 全等 我们现在知道我们需要很小心 我们要找到正确的对应边 我们现在知道那个三角形 三角形CDE 全等于三角形DBF 当我们考虑对应边的时候 我们看颜色 我需要黄的到品红到蓝 黄的到品红到蓝 将会全等于三角形EFA 也就是会全等于这个三角形和这里 我想确认我们 我们用的是正确的对应边 所以确认当我们这样做的时候 我们只需要考虑角 所以我们知道 我们知道会很有趣 那个是因为 三角形内角和等于180度 我们知道这个品红的角加上这个蓝色的角 再加上这个黄色的角等于180度 这里我们有这个蓝色的角和品红的角 很明显他们加起来等于180度 你必须有这个蓝色的角 这个蓝色的角必须在这里 同理 蓝色的角 黄色的角和蓝色的角 你必须有这个品红的角在这里 他们加起来等于180 所以这个一定是品红的角 最后品红的角和蓝色的角 所以这个一定是黄色的角在这里 所以当我们在这里写全等 我们从CDE开始 黄色 品红 蓝色 这里我们用黄色 品红 蓝色 这个全等于三角形FED 这太酷了 我们刚刚证明了这三个三角形 这个三角形 这三角形和那个三角形都全等 而且我们可以看到对应 而且他们都有与大三角形的比值 他们都相似于大三角形ABC 而且边之间的比值都是一比二 还有因为我们看对应角 我们看几个例子 这个角等于那个角 所以如果你把DC视为 如果你把BC视为截线 所有的边都很清晰 FD平行AC 因为对应角相等 所以这个和那个平行 而且可以用同样的方法 比如这个边 同理 对应角 对应角 这里和这里 你可以说这个平行于那个 最终 同理 那里你可以 你可以 我需要确定我用的是正确的对应角 你有这条边和这条边 然后这个角对应那个角 他们相等 所以DE一定平行于BA 所以这是中点三角形另一个简洁的性质 如果你想简单地处理三角形 我想所有这些都已经写出来了