如果你看到这则信息,这表示下载可汗学院的外部资源时遇到困难.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

主要内容

证明:平行线按比例分割三角形两边

证明平行于三角形某边的平行线可以按比例分割另外两边。 Sal Khan 创建

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.

视频字幕

问题为: 证明一个三角形内的一条边的平行线 将另两条边按相同的比例分割 暂停视频然后自己试着去解一下 你可能需要这个示意图辅助 好的,我们现在开始讲解 我们先看这个图 由图可知 线段ED∥线段CB 我把它写下来 线段ED∥线段CB 所以线段ED 就是那条直线或线段 它平行于三角形的一条边 我们已知的信息 其实都在这幅图上 我们要用 另一个方式解释 将另两条边按相同的比例分割 也就是 三角形一边被分割成 两条线段的比例 与三角形另外一边的 比例相同 这其中ED为分割线 所以,说明 一个三角形内的一条边的平行线将另两条边按相同的比例分割 如果我们看一下这个三角形 意思就是线段AE的长度 比线段EC的长度 等于线段AD的长度 比线段DB的长度 这个式子 与划线部分的意思 在这个三角形中是一样的 所以我们要做的 是证明 △AED相似于△ACB 所以我们要怎么做 因为这两条线段互相平行 我们可以把线段AC 视为这两条平行线的截线 所以这一对同位角 全等 所以我们可以说,∠1全等于∠3 而理由是 它们是两平行线间的同位角 我试着把它写短一点 这是同位角的简称 这是一个基本原理 同理,∠2 全等于∠4 所以∠2全等于∠4 同样,它们是同位角 不过它们有不同的截线 一条截线 交两条平行线时产生的同位角 现在,若你再观察△AED和△ACB一下 你就会看到两同位角 它们每一对角都是全等的 如果你有这两对全等的同位角 就意味着所有的这些角都全等 如果你够细心,你可以发现这里有个公共角 但两对相等的对应角已经足够了,但其实有第三对 因为这个角,我觉得你们会叫它∠BAC 是这两个三角形的公共角 所以,我们可以证明△AED 与△ACB相似 A——C——B, 根据AA,它们相似 相似 又因为这两个三角形相似 我们就可以写出一个比例 由以上的过程可知,线段AE的长度 与这整一条边AC的长度的比 等于线段AD的长度 与整一条边AB的长度的比 这就说明......我把它写在这里吧 写右边节省位置 等于AE比...... AC=AE+EC 所以AE=EC 这边就等于 AD的长度比 线段AB,它的长度等于线段AD...... AD,加上线段DB的长度——加DB 现在,我要做的就是 想出如何用代数的方法处理它 这里就有我们需要的东西了 我把画面向下划一点 简化它的一种方法 是十字相乘 这相当于两边都 乘以这两个分母 我们在其他视频中也谈到了这一点 这就等于线段AE的长度 乘(AD+DB) 这边就等于AD的长度乘 (AE+EC) 我这里可以用乘法分配律 得AE·AD 加AE·DB 等于AD·AE 加AD·EC 观察一下,这里有什么我可以化简的吗 我们左右两边有AE·AD 所以这里方程两边同时除以AE·AD 我所得到的是...... 再往下拉一点 我把它写清楚点 得到AE·DB=AD·EC 这里就是线段的长度了 现在如果方程两边同时除以EC 把EC写在这里 这里就可以约掉 如果方程两边同时除以DB 这里就可以约掉,然后就会多一个DB 所以当你用代数的方法处理 我们得到的这个东西时 就可以得到线段AE的长度 比线段EC的长度 线段AE的长度比线段EC的长度 等于线段AD的长度......AD 比线段DB的长度 这就是我们想要证明的 这里的这条边 平行于这条边 将另两条边按相同的比例分割