证明：垂直线之间的斜率互为负倒数

在这个视频中, 我想用几何学原理来证明 互相垂直的两条线的斜率是 彼此的负倒数。 那我们开始吧。 我们有线L和M，我们将假设 它们互相垂直。 它们相交处是一个直角。 画在这里。 我现在要构造一些其他的线 来帮助我们来证明这个几何学理论。 让我画一条与这个点相交的水平线。 让我画一条与这个点相交的水平线。 让我们叫它点A。 让我看看我能不能画。 可以！ 所以，这是一条与点A相交的平行线。 现在我要根据水平线做垂线。 所以我要在这里做垂线， 我要在这里做垂线， 这是90度，那也是90度。 这就是我想构造的样子。 上面的这条线是完全水平的。 然后我做了两条垂直的线。 所以它们是九十度。 现在我来设一些点。 我已经把这个点设为点A。 把这个设为点B。 把这个设为点C。 把这个设为点D。 把这个设为点E，在这里。 现在让我们想想线L的斜率是多少。 线L的斜率是多少呢？ 你可以把线L看成连接点CA的线， 所以你可以说斜率是CA的斜率。 CA的斜率就是L的斜率。 L就是线CA。 想要算出斜率，用Y轴的变化 除以X轴的变化。 Y轴的变化是CB。 也就是CB的长度。 这是Y轴的变化。 所以，斜率是CB除以X轴的变化， X轴的变化也就是线段BA的长度。 X轴的变化也就是线段BA的长度。 是BA。 M的斜率是多少？ M的斜率。 我们可以说斜率是，我们可以把线M叫做 线AE。 线AE，写成这样。 如果我们要从点A到点E， 同理，是Y轴的变化除以X轴的变化。 Y的变化是多少。 Y的变化， 我们要从这个高度降到这个高度 从A到E。 我们可以在这里做相同的。 从A到E。 这是Y轴的变化。 我们可能倾向说， 这是线段DE的长度。 但是要记得，Y的值在减小。 所以我们要减去从这个Y值到那个Y值之间的距离。 所以我们要减去从这个Y值到那个Y值之间的距离。 X轴的变化是什么呢？ X的变化是从A到E， X轴的变化是线段AD的长度。 AD。 所以M的斜率就是负DE。 这是这个长度的相反数， 因为我们是下降了这么多。 这是我们Y轴的变化， 除以线段AD。 有些同学可能已经受了 我们写出来的东西的启发， 因为我们现在只需要构建 这两个三角形， 三角形CBA和三角形ADE是相似的。 然后我们可以证明 这两条线的斜率是彼此的负倒数。 现在让我们来证明这两个三角形是相似的。 这里有一个角度。 我们把角的度数设为X,这样方便一些。 然后这里有...让我换种颜色来写， 这里有一个角。 让我们说测量这个角的值是Y。 我们知道X + Y + 90等于180， 因为在一起，它们是互补的。 所以我可以写X + Y + 90 等于180度。 如果你想，你可以两边同时减90， 然后你可以看出，X + Y 等于 90度。 这两个式子在计算上是相等。 所以等于90度。 我们怎么能用这个解出 三角形里其他的角呢？ 我们可以看到X + 下面这个角 等于90度。 或者你可以说X+ 90 + 未知角 等于180. 我现在讨论的是三角形CBA。 三角形的内角加起来等于180。 X + 90 + 什么等于180 呢？ X + 90 + Y等于180。 我们已经列好了。 在这里也是相同的。 Y + 90 + 什么等于180 呢？ 同理。 我们已经知道 Y + 90 + X等于180。 Y + 90 + X等于180。 我们注意到我们已经构造了 三角形ABC和三角形EDA， 它们所有的内角， 所有对应内角都是相同的， 或者说它们三个内角的度数 互相之间是对应的。 它们都有角X， 它们的度数都是X， 它们都有一个角的角度是Y， 它们都是直角三角形。 所以，根据角，角，角， 角，角，角， 这是三角形相似的一个条件。 我们知道三角形EDA 与三角形ABC是相似的。 这告诉我们对应边的比例 是相同的。 比方说，我们知道... 让我们一起找到对应边的比例。 我们想知道CB比BA的比例， 让我们写下来。 我们知道比例，这告诉我们 对应边的比例 是相同的。 所以CB比BA的比例 等于... CB的对应边 角X对的边 在这里。 所以CB的对应边是AD。 这就会等于AD除以... BA的对应边是什么？ BA是角Y对的边。 对应边是DE。 AD除以DE。 让我用相同的颜色。 除以DE。 所以这里的这个，我们从一开始看到的， 是L的斜率。 L的斜率。 这和M的斜率有什么关系呢？ 注意，M的斜率是这个的负倒数。 注意，M的斜率是这个的负倒数。 你算倒数，就是DE除以AD， 然后你需要算这个数的负数。 我们可以把它写成M斜率的 负倒数。 M斜率的负倒数。 然后就得解了。 我们刚刚展示了，如果我们 假设L和M是互相垂直的， 我们构造相似三角形， 我们可以证明 L的斜率是M斜率的 负倒数。