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主要内容
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用相似性证明斜率是恒定的

视频字幕

你在代数课上应该听过这样的话 如果有一条直线 这条直线的y值关于x的变化量 是恒定的。 或者换一种说法 这条线的倾角是恒定的, 或者说这条线的斜率是恒定的。 然后斜率其实就是y的变化量。 这个小三角是希腊字母Delta, 它代表“某个变化”。 所以斜率就是y的变化量 除以x的变化量。 如果你处理的是一条直线 这个就是 一个恒定的常数。 接下来我想要做的是 用相似三角形的概念证明这个, 也就是利用几何。 首先我需要找两对,两个一组的点。 那就这里找一个 --我来换个颜色吧 就从这个点开始, 从这个点结束。 现在这两个点之间我们的x变化了多少? 这个点的x坐标在这里。 然后这个点的x左边在这。 然后我们的x的变化就是这段距离。 那y变化了多少呢? 首先这个点的y坐标在这 这个点的y坐标在这 于是这段距离就是我们y的变化量。 这个就是y的变化量。 那么我们再找两个其他的点, 就找这个点和这个点吧。 我们需要做同样的事情 x的变化量是多少? 看一下 如果我们从这个点的x坐标开始 到这个点的x坐标 从这里开始然后一直到这里 这段距离就是这两点之间 x的变化量。 从这里到这里 --我还是用绿颜色吧 这段绿色的距离就是这两点之间 x的变化量。 然后我们找一下y的变化。这个点的y值 和这个点的y值 所以y的变化量就是这段距离。 所以我们的目标是什么 --我随机找了两个点 我们的目标是证明 这个y与x的变化量之比 等于这个y 和x的变化量之比。 也就是说这个紫色的边与绿色的边之比 等于 这个紫色的边和绿色的边之比。 别忘了 我只是随便找了两组点。 我将用三角形相似的定理来证明。 如果我能证明这两个三角形相似, 我就大功告成了。 我们现在简单地复习一下什么是相似 有好几种方法证明两个三角形相似 我可以说当且仅当 它们的三个角都相等时。 这里要留心一下, 它们的角不一定要一模一样 这是对应角的度数要相等。 所以对应角 都应该相等。 或者说它们对应相等。 举个例子,如果我这里有一个三角形 然后这个是30° 这个是60° 这个是90° 然后这里还有一个三角形 我来画一下 这个角是30° 这个角是60° 这个角是90° 即便它们的边长互不相等 但它们的角都是相等的。 它们仅仅是对方放大或缩小后的样子。 所有的对应角 60对应60 30对应30 90对应90。 所以这两个三角形相似。 然后我们能得出什么呢? 如果我们知道了两个三角形相似的结论, 那么他们对应边的比例 就都相等。 所以如果这两个三角形相似 这个边和这个边的比例 就等于 --我来换个颜色 --这个边和这个边的比例 现在你能理解为什么 证明相似可以证明斜率是恒定的了吧 因为我们只需要观察一下 如果这两个三角形相似 那么他们对应边的比例 就一直是相等的。 我们随机找了两对点 如果对于任何在这条线上的两对点 此结论都成立。 那么对于整条线也就是成立的。 那么我们来证明相似性吧 首先我们知道这两个三角形 都是直角三角形。 绿色的线是完全水平的, 紫色的线是完全竖直的。 因为绿色的线 就是在水平方线延伸 紫色的线完全在竖直方向延伸。 我们来标记一下这里。 现在我们知道了他们都是直角 于是我们有了第一对等角。 我们还需要找出其他的。 我们可以试试 用平行线和横截线的知识 来找出其他的等角。 我们来看这两个绿色的线 --我来加上延长线。 它们是线段,但如果我们把它们看成直线 并且延长 一直延长 我来画一下, 然后这条线很明显与这条线平行 它们都是完全水平的线。 现在我们把这条橙色的线看成横截线 如果把它看成是横截线 我们就能得出这个角和这个角对应。 并且我们知道在平行线和横截线间 对应角相等。 所以这个角等于这个角。 现在用同样的方法来证明这个角 但这次用两条竖直方向的线。 它们是线段。但我们可以把它们延长 我们可以把它们当作直线一样延长。 像这样 竖直的直线 我们把这条线也延长。 因为我们知道它们都是竖直方向的, 在y轴的方向上 在完全竖直的方向上。 所以这条线和这条线平行。 同样,这条橙色的线是横截线 然后这个角对应这个角。 现在我们就知道了 它们是相等的。 两条平行线的横截线所对应的角 相等 我们在几何课上学过这个 所以大功告成 所有的对应角 这个角 等于这个角 这个角等于这个角 然后这两个角都是90° 所以这两个三角形相似 我来把它写下来 以方便记忆。这两个三角形相似。 那么现在我们就能用两边之比相等的定理。 如果我们设这个边为a, 设这个边为b, 设这个边为c, 设这个边为d, 我们就能知道, 因为他们是相似三角形 所以对应边的比例 a与b的比例 将等于c与d的比例。 而这个比例其实就是 斜率的定义 y的变化量比x的变化量 这个比例将是恒定的常数,因为所有在 这两点间找出的直角三角形 我们已经刚刚证明过它们是相似的。 而如果它们相似 这个竖直线段 与水平线段之比将会是恒定的常数 这就是斜率的定义。 所以一条线的斜率将是恒定的。