三维扩张

假设我们现在有一个平面， 比方说，这里是你的桌面。 让我在这个平面上画一个三角形。 比方说，一个这样的三角形， 像这样子。 它不必是一个直角三角形。 我并没有假定 这必须是一个直角三角形。 尽管它看上去有点像。 让我们给三个顶点分别标上A、B和C。 现在我会搞点有趣的操作。 我将在这个平面之外， 取第四个点P， 让点P在点B的正上方。 让我们从点B出发， 竖直向上， 在这里得到点P。 现在我可以以点P为顶点， 构造一个棱锥。 接下来我们要考虑的是， 如果我们取这个棱锥的截面，会得到什么？ 在这个例子中， 线段PB的长度就是这个棱锥的高。 现在，假如我们在这条高的中点处， 取这个棱锥 平行于原桌面的截面， 会得到一个怎样的图形？ 它大致会长这样子。 现在，你大概已经注意到了这里的有趣之处。 假如把这个蓝色的三角形竖直向下 平移至桌面， 它将会长这样。 这样看来， 它就像是原三角形相对点B 经放缩变换所得到的一样。 事实的确如此，这就是一个相对点B的， 比率为0.5的放缩变换。 在这里你可以看到， 此处的这条边， 这条BC经放缩所得到的边的长度， 刚好是原线段BC长度的一半。 这一条边则是原线段AB的一半。 而这条边呢，是原线段AC的一半。 你还可以在该棱锥的其他高度上做相同的操作。 比如，在P、B间0.75的位置。 假如在这里取截面。 它将离我们原先的三角形更近， 离原桌面更近。 然后这个截面呢 就会长这样子。 现在，假如我们把它竖直向下 平移至原平面上， 会得到怎样的图形？ 嗯，它将会长这样子。 这仍然是原三角形相对点B 做放缩变换后的结果。 不过这次，放缩比是0.75。 假如我们在P、B间1/4处 取截面又会如何呢？ 嗯，你将会得到一个这样的截面。 在1/4的位置上， 平行于原桌面 取截面， 它将会长这样子。 假如把它竖直向下平移到桌面上， 将会变成这样子。 相应地，它是原三角形 相对点B作0.25倍放缩后所得到的。 上述所有放缩变换 之所以都是相对于点B发生的， 是因为点P在点B的正上方。 上述操作，是一种理解缩放变换的方式。 它也能让我们看到 在一个三维几何体中， 在我们的例子中是棱锥， 截面与底面 之间的联系。 现在让我来问你一个有趣的问题。 假如我们在点P处取截面 会怎样？ 这样我们就只会得到一个点。 虽然我们并不会得到一个三角形， 但你也可以把它看作是 一个比率为0的放缩变换的结果。 假如在底面处取截面又会如何呢？ 这样我们就会得到原三角形ABC。 我们可以把这看作是， 一个比率为1的放缩变换的结果。 你一路滑回了底面上。 好了，希望上面的内容能够帮助你 将三维几何体平行于底面的截面 与放缩变换的概念联系到一起。