立体体积的应用

[老师] 问题说，一个锥形漏斗 如果你想确认一下漏斗在这个问题中的意思是什么 就可以点开这段文字中标注的地方 漏斗是一个可以过储存粮食的厨具 然后它也可以让粮食从另一端漏出来 已知漏斗上维半径10米，高8米 那让我们把它先画出来 首先它是锥形的，且上端有圆形半径 现在我猜你可能会想 哦！所以上维应为圆锥的“底”所在 其必将是整个锥形最宽的地方 所以它看起来应该是这样的 这也正是问题第一句话所告诉我们的 然后它的半径是10米 那这一段的距离就是10米了 其次锥形高8米 那这里的距离就是8米 然后题目说这个漏斗中的粮食 填至漏斗的2米 所以一个方式去思考这件事情就是 粮食从下至上占据了直到距离漏斗顶端2米的高度 所以那粮食的高度为8 - 2米 也就是6米高 以上，就是第二句话告诉我们的事情 接下来，漏斗会将粮食倒入一个 0.5 x 0.5 x 0.4的盒子中 并且漏斗每分钟可以漏出8立方米的粮食 并且漏斗每分钟可以漏出8立方米的粮食 这里有很多的信息 那第一小问说 漏斗中粮食的体积是多少 在我们开始计算之前 先让我们看看能不能直接得出答案 题目让我们求的就是这一块红色区域的体积 也就是漏斗中装了粮食的体积 希望你可以暂停视频，然后试着求出答案 好的，从之前的视频中 我们知道了锥形的体积是 1/3 × 底面积 × 高 现在已知高等于6米 那么我们需要做的就是求出底面积 咋搞呢？ 首先，我们需要找到底半径 那就先设这段为半径r 现在我们需要做什么来求出半径呢？ 我们可以来看看这里的两个三角形 我们可以来看看这里的两个三角形 然后你就会发现这两个是相似三角形 因为这两条线段平行 这里是一个直角 这里是直角因为 这些底面都是与地面垂直的 接下来这个角可以转换成这个角 因为这两条横截线是平行线 所以这两个角就为同位角 两个三角形都具备这些性质 所以我们就有了角、角、角 相同的相似三角形 那我们接下来就可以设定比例了 我们可以说半径r比10的比例 我们可以说半径r比10的比例 等于6比8的比例 现在我们就可以求出半径r的长度了 那么半径r就会等于 等式两边同乘10 等式两边同乘10 这里就是60/8 60除以8余4 所以得7.5 那如果我们想知道 这块底面积的话 如果我们想知道面积b 那就是底面积等于π × r^2 所以底面积在这里就会等于 π × (7.5米)^2 那我们得到的第一小问的答案就应该是 1/3 × 底面积 也就是7.5m的平方 乘以高，也就是6米 接下来我们简化一下 6/3，或者说6 × 1/3 就可以简化成2 让我拿出来我的计算器 问题要我们四舍五入到十分之一立方米 那么7.5^2 × 2 × π 那么7.5^2 × 2 × π 就应该等于 353.4立方米 所以粮食的体积约为353.4立方米 那这就是我们第一小问的答案啦 那接下来题目问我们 这些粮食可以填满多少个箱子呢？ 题目之前已经告诉了我们这个箱子的规格 漏斗会将粮食漏进一个 0.5 × 0.5 × 0.4的箱子 所以我们就可以想象这些箱子 看起来是这样的 0.5 × 0.5 × 0.4的箱子 体积就是 这些数相乘的积 因为体积公式为长乘宽乘高 因为体积公式为长乘宽乘高 所以要计算0.5 × 0.5 × 0.4 我们应该可以心算一下这个 5 × 5 = 25 25 × 4 = 100 而我们有一、二、三个小数位 所以小数点移动一、二、三 我们就会得到0.100立方米 也就是一立方米的十分之一 那么多少个十分之一立方米我们可以 用漏斗中的粮食填满呢？ 其实这就是粮食体积的值 除以十分之一 因为除以十分之一就同等于乘十 因为除以十分之一就同等于乘十 所以如果我乘10的话 那我们就会得到3534个盒子 让我们再重申一下 每立方米，我们就可以填满10个箱子 而这里是粮食体积的立方米值 所以如果我们把这个数乘以10的话 我们就会得到会填满的箱子的数量 其中一个思考方式 -- 我们也在其他的视频中见到过 我们是通过向右移动小数点 得到的箱子数量的值 同时我们也需要意识到因为我们是运用四舍五入 得到的粮食体积是353.4立方米 又因为我们是向下舍得的，所以我们是一定有这么多粮食的 但用这个四舍五入的偏差值 我们并不能再填满另外一个箱子 现在，这最后一小问说让我们 找到填满箱子所需要的分钟 这个值是总体积 而每分钟我们可以填满8立方米 所以这里的答案就为总体积 -- 也就是353.4立方米 再用这个值除以漏斗的效率 -- 也就是8立方米/分钟 那合在一起就是353.4 ÷ 8 如果我们想四舍五入到最近分钟的话 44分钟就是最终答案 所以，大约需要44分钟去填满所有的箱子 所以，大约需要44分钟去填满所有的箱子