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主要内容

卡瓦列里原理在立体图形中的应用

如果两个立体图形在沿高度的每一点上具有相同的高度和相同的横截面积,则它们的体积相同。

卡瓦列里原理(Cavalieri's principle)在立体图形中的应用

主要内容:如果两个立体图形在高一边每个点都有相同的高度 和相同的 横截面积,那么他们就有相同的 体积

它为什么正确?

想象一下,我们有一叠硬币(或书本、扑克牌或任何具有平行平面的东西)。 如果我们推一推这堆钱币的顶部,使它向旁边倾斜,我们是否改变了体积? 当然没有!
两叠相同的扑克筹码。两堆筹码的数量相同。一堆像一个右圆柱体。另一叠的筹码与下面的筹码偏离中心。
作者:HB(自己的作品) [CC BY-SA 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)],通过 Wikimedia Commons
我们可以将一个立体图形切割成许多平行的层,然后在不改变体积的情况下将它们左右滑动。
两个正圆柱体。第一个圆柱体开始时和第二个圆柱体一样。然后,它被切成越来越多的层。这些层可以左右滑动。当层数很薄的时候,第一个圆柱体就像一个斜圆柱体。
自己尝试 卡瓦列里定理圆柱体模型。拖动滑块来改变切片的数量和左边圆柱体的倾斜程度。 尝试增加切片数量,直到圆柱体看起来光滑为止。

探索更多不寻常的形状

不仅仅是棱柱和圆柱体可以利用卡瓦列里原理。例如,我们可以在不改变体积的情况下,将圆锥体的层数从一边滑到另一边。
动画展示了一个右圆锥体的水平截面和第二个图形,其截面与圆锥体相同,但截面向一侧滑动,呈波浪状,不规则。
自己尝试 卡瓦列里雕塑模拟器。将鼠标拖动到右边的圆锥体上进行雕刻。 请注意,无论你如何雕刻,在任何给定高度上,两个图形的横截面积都保持相等。
两个图形的 都是 21底面积64π
问题1
左边圆锥体的体积是?
  • 你的答案是
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
立方单位
右边圆锥体的体积是?
  • 你的答案是
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
立方单位

不同形状物体的卡瓦列里定理的应用

卡瓦利里定理的一个比较有用的特点是,即使对于截面形状不同的物体,只要它们的面积仍然相等,它也能发挥作用。
问题2.1
下面的形状都有相同的高度和相同的底面积。
下列物体那些具有相同体积?
选择所有正确的答案:

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