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高中几何
卡瓦列里原理在立体图形中的应用
如果两个立体图形在沿高度的每一点上具有相同的高度和相同的横截面积,则它们的体积相同。
卡瓦列里原理(Cavalieri's principle)在立体图形中的应用
主要内容:如果两个立体图形在高一边每个点都有相同的start color #7854ab, start text, 高, 度, end text, end color #7854ab 和相同的 start color #208170, start text, 横, 截, 面, 积, end text, end color #208170,那么他们就有相同的 start color #ca337c, start text, 体, 积, end text, end color #ca337c。
它为什么正确?
想象一下,我们有一叠硬币(或书本、扑克牌或任何具有平行平面的东西)。 如果我们推一推这堆钱币的顶部,使它向旁边倾斜,我们是否改变了体积? 当然没有!
我们可以将一个立体图形切割成许多平行的层,然后在不改变体积的情况下将它们左右滑动。
自己尝试 卡瓦列里定理圆柱体模型。拖动滑块来改变切片的数量和左边圆柱体的倾斜程度。 尝试增加切片数量,直到圆柱体看起来光滑为止。
探索更多不寻常的形状
不仅仅是棱柱和圆柱体可以利用卡瓦列里原理。例如,我们可以在不改变体积的情况下,将圆锥体的层数从一边滑到另一边。
自己尝试 卡瓦列里雕塑模拟器。将鼠标拖动到右边的圆锥体上进行雕刻。 请注意,无论你如何雕刻,在任何给定高度上,两个图形的横截面积都保持相等。
两个图形的 start color #7854ab, start text, 高, end text, end color #7854ab 都是 start color #7854ab, 21, end color #7854ab, start color #208170, start text, 底, 面, 积, end text, end color #208170 为 start color #208170, 64, pi, end color #208170。
不同形状物体的卡瓦列里定理的应用
卡瓦利里定理的一个比较有用的特点是,即使对于截面形状不同的物体,只要它们的面积仍然相等,它也能发挥作用。