棱锥和圆锥的体积

一个棱锥是一个多边形底面和与它不共面的顶点之间所有点的集合。

另一种理解棱锥的方法是把它看作一个底面以顶点为中心的扩散，比例从$0$‍到$1$‍。

一个圆锥是一个常见的像棱锥一样的形状，但底面不是多边形，而是一个圆或是其他闭合曲线。一个圆锥曲面而不是多个三角形的面，但是就体积而言的话，圆锥和棱锥是相似的。

求棱锥体积$V$‍的公式是 $V={\displaystyle \frac{1}{3}}(\text{base area})(\text{height})$‍。这个公式是如何得出的呢？

假设我们从一个边长为$1$‍单位长度的立方体开始。我们可以把这个立方体切割成$3$‍个相同的棱锥。

缩放一个棱锥和缩放包裹着它的棱柱体是一样的。当我们把一个体积为 $V_{\text{unscaled}}$‍ 的棱锥进行三个维度分别为$r$‍，$s$‍和$t$‍的比例缩放时，那么根据 $V_{\text{scaled}}$‍ 缩放得出的形状体积是 $V_{\text{unscaled}}rst$‍。

重点：棱锥的体积仍然是包裹它的棱柱体积的${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍，即使我们将它进行了放缩。

想象一下，我们把棱锥切割成了与地面平行的很多层。我们可以任意挪动这些切层而不会改变体积。随着层数接近无穷，我们可以使棱锥变得圆滑。

卡瓦列里原理说我们只要不改变棱锥切层的厚度和面积，我们就不会改变它的体积！无论我们把顶点挪到哪里，我们都可以用同一个原理来求棱锥的体积。

这是卡瓦列里原理在棱锥中应用的另一有意思的情景。两个底面可以有相同的面积但完全不同的形状。如果两个圆锥的底面积和高度均相同，或 固体相同，那么他们的体积也相同，因为其他平行于底面的切层的面积也一定相同。

所以我们的方程$V_{\text{pyramid}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\text{base area})(\text{height})$‍总是成立，无论底面是什么样的2D图形。

像你这样的数学家用来说服自己棱锥体积为包裹它的棱柱体积的${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍的另一个方法是用棱柱体积来估计棱锥体积。

我们可以把一个棱锥看作一堆棱柱，就像用石块堆金字塔一样。这个模型的体积会比棱锥大一些。我们堆的层数越多，就越接近棱锥的真实体积。

因为类棱锥体可以以任意闭合2D图形作为底面，而且因为我们可以挪动棱柱而不改变它的体积，这个比例对任何类棱锥体都适用，包括圆锥。