主要内容
高中几何
棱锥和圆锥的体积
棱锥体积计算公式中的1/3是从那里来的?为什么和圆锥的体积有关?斜棱锥的体积呢?
什么是棱锥和圆锥?
一个棱锥是一个多边形底面和与它不共面的顶点之间所有点的集合。
另一种理解棱锥的方法是把它看作一个底面以顶点为中心的扩散,比例从 到 。
一个圆锥是一个常见的像棱锥一样的形状,但底面不是多边形,而是一个圆或是其他闭合曲线。一个圆锥曲面而不是多个三角形的面,但是就体积而言的话,圆锥和棱锥是相似的。
棱锥的体积
求棱锥体积 的公式是 。这个公式是如何得出的呢?
公式中的 是从哪来的?
假设我们从一个边长为 单位长度的立方体开始。我们可以把这个立方体切割成 个相同的棱锥。
缩放棱锥
缩放一个棱锥和缩放包裹着它的棱柱体是一样的。当我们把一个体积为 的棱锥进行三个维度分别为 , 和 的比例缩放时,那么根据 缩放得出的形状体积是 。
重点:棱锥的体积仍然是包裹它的棱柱体积的 ,即使我们将它进行了放缩。
挪动切片
想象一下,我们把棱锥切割成了与地面平行的很多层。我们可以任意挪动这些切层而不会改变体积。随着层数接近无穷,我们可以使棱锥变得圆滑。
卡瓦列里原理说我们只要不改变棱锥切层的厚度和面积,我们就不会改变它的体积!无论我们把顶点挪到哪里,我们都可以用同一个原理来求棱锥的体积。
改变底面形状
这是卡瓦列里原理在棱锥中应用的另一有意思的情景。两个底面可以有相同的面积但完全不同的形状。如果两个圆锥的底面积和高度均相同,或 固体相同,那么他们的体积也相同,因为其他平行于底面的切层的面积也一定相同。
所以我们的方程 总是成立,无论底面是什么样的2D图形。
用另外一个方式得出
像你这样的数学家用来说服自己棱锥体积为包裹它的棱柱体积的 的另一个方法是用棱柱体积来估计棱锥体积。
我们可以把一个棱锥看作一堆棱柱,就像用石块堆金字塔一样。这个模型的体积会比棱锥大一些。我们堆的层数越多,就越接近棱锥的真实体积。
层数 | |
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因为类棱锥体可以以任意闭合2D图形作为底面,而且因为我们可以挪动棱柱而不改变它的体积,这个比例对任何类棱锥体都适用,包括圆锥。