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高中几何
Course: 高中几何 > 单位 9
课程 2: 卡瓦列里原理和分割方法棱锥和圆锥的体积
棱锥体积计算公式中的1/3是从那里来的？为什么和圆锥的体积有关？斜棱锥的体积呢？
什么是棱锥和圆锥？
一个棱锥是一个多边形底面和与它不共面的顶点之间所有点的集合。
另一种理解棱锥的方法是把它看作一个底面以顶点为中心的扩散，比例从0到1。
一个圆锥是一个常见的像棱锥一样的形状，但底面不是多边形，而是一个圆或是其他闭合曲线。一个圆锥曲面而不是多个三角形的面，但是就体积而言的话，圆锥和棱锥是相似的。
棱锥的体积
求棱锥体积V的公式是 V, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, b, a, s, e, space, a, r, e, a, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, h, e, i, g, h, t, end text, right parenthesis。这个公式是如何得出的呢？
公式中的start fraction, 1, divided by, 3, end fraction是从哪来的？
假设我们从一个边长为1单位长度的立方体开始。我们可以把这个立方体切割成3个相同的棱锥。
缩放棱锥
缩放一个棱锥和缩放包裹着它的棱柱体是一样的。当我们把一个体积为 V, start subscript, start text, u, n, s, c, a, l, e, d, end text, end subscript 的棱锥进行三个维度分别为r，s和t的比例缩放时，那么根据 V, start subscript, start text, s, c, a, l, e, d, end text, end subscript 缩放得出的形状体积是 V, start subscript, start text, u, n, s, c, a, l, e, d, end text, end subscript, r, s, t。
重点：棱锥的体积仍然是包裹它的棱柱体积的start fraction, 1, divided by, 3, end fraction，即使我们将它进行了放缩。
挪动切片
想象一下，我们把棱锥切割成了与地面平行的很多层。我们可以任意挪动这些切层而不会改变体积。随着层数接近无穷，我们可以使棱锥变得圆滑。
卡瓦列里原理说我们只要不改变棱锥切层的厚度和面积，我们就不会改变它的体积！无论我们把顶点挪到哪里，我们都可以用同一个原理来求棱锥的体积。
改变底面形状
这是卡瓦列里原理在棱锥中应用的另一有意思的情景。两个底面可以有相同的面积但完全不同的形状。如果两个圆锥的底面积和高度均相同，或 固体相同，那么他们的体积也相同，因为其他平行于底面的切层的面积也一定相同。
所以我们的方程V, start subscript, start text, p, y, r, a, m, i, d, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, b, a, s, e, space, a, r, e, a, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, h, e, i, g, h, t, end text, right parenthesis总是成立，无论底面是什么样的2D图形。
用另外一个方式得出start fraction, 1, divided by, 3, end fraction
像你这样的数学家用来说服自己棱锥体积为包裹它的棱柱体积的start fraction, 1, divided by, 3, end fraction的另一个方法是用棱柱体积来估计棱锥体积。
我们可以把一个棱锥看作一堆棱柱，就像用石块堆金字塔一样。这个模型的体积会比棱锥大一些。我们堆的层数越多，就越接近棱锥的真实体积。
| 层数 | start fraction, start text, V, o, l, u, m, e, space, o, f, space, b, l, o, c, k, space, p, y, r, a, m, i, d, space, a, p, p, r, o, x, i, m, a, t, i, o, n, end text, divided by, start text, V, o, l, u, m, e, space, o, f, space, p, r, i, s, m, end text, end fraction |
|---|---|
| 4 | approximately equals, 0, point, 469 |
| 16 | approximately equals, 0, point, 365 |
| 64 | approximately equals, 0, point, 341 |
| 256 | approximately equals, 0, point, 335 |
| 1024 | approximately equals, 0, point, 334 |
| 4096 | approximately equals, 0, point, 333 |
| infinity | start fraction, 1, divided by, 3, end fraction |
因为类棱锥体可以以任意闭合2D图形作为底面，而且因为我们可以挪动棱柱而不改变它的体积，这个比例对任何类棱锥体都适用，包括圆锥。