卡瓦列里原理在立体图形中的应用

我们有两个圆柱体。 已知两者的体积相等。 看上去的确如此， 因为它们的底面积相等， 两者的高也相等。 现在我把左边的圆柱体一分为二， 然后左右挪动。 假如我先把它一分为二， 再把底部的一半往一侧挪动一点， 这会改变它整体的体积吗？ 显然，这并不会改变它的体积。 这个几何体的体积保持不变。 也就是说，这两个小圆柱体的体积之和 等于原先一整个圆柱体的体积。 假如我进一步分割这个圆柱体会如何呢？ 比如我现在把它切成三块。 这仍旧不会改变它原本的体积。 总体积还是和原来一样， 我只是把它分成了3份。 假如我进一步左右移动它们， 也不会改变它们的体积。 我可以进一步重复这样的操作， 把这个圆柱体切成好几层。 注意，现在总体积仍然保持不变， 我只是把它分成了好几份。 我把它沿水平方向切开， 然后左右移动， 这并不会改变体积。 我可以变本加厉。 现在它们看上去像是一叠赌博用的筹码。 我们先还原到最初的圆柱体， 然后把它沿水平方向 切成许多小薄片， 这显然不改变整体的体积。 我可以挪动这些薄片，但这不会改变体积。 以上这些操作导向一个有趣的问题， 它实际上是一个原理， 它被称为祖暅原理， 其内容是：如果两个几何体的高相等， 而且在任意高度上， 两者的截面积也相等， 那么这两个几何体体积相等。 这个原理如何适用于我们当前的情况呢？ 首先，这两个几何体的高显然相等， 其次，在我做了切割的任何地方， 在原圆柱体的同一高度上， 我们的截面积也会是一样的， 因为它们都等于 原圆柱体的底面积。 所以这符合祖暅原理。 不过呢，祖暅原理本身并不出人意料。 它来自基本常识。 我可以切得更细， 如你所见， 得到一个看上去更连续的，倾斜的圆柱体。 它仍会具有与原圆柱体相等的体积。 像我这样挪来挪去， 并不会改变整体的体积。 这原理不仅适用于圆柱体。 同样的论证也适用于 某种形状的棱柱。 我们还是从两个等底等高的棱柱出发。 我可以把左边的棱柱一分为二， 挪动位置，不改变体积。 我可以把它切成更多份，挪来挪去， 仍然不改变体积。 所以祖暅原理 是很符合直觉的。 如果两个几何体的高相等， 而且在任意高度上， 两者的截面积也相等， 那么这两个几何体体积相等。 所以图中的这两个几何体也具有相同的体积。 我们还可以把该原理应用到一些有趣的几何体上， 比如，棱锥（金字塔）。 这两个棱锥体积相等， 假如我把左边的棱锥一分为二， 然后挪动其底部， 这并不会改变它的体积。 我可以重复相同的操作，切得越来越细。 由于这两个几何体 具有相同的高度， 而且在任意高度上， 两者的截面积也相等， 所以两者具有相同的体积。 这仍然是符合直觉的。 在无限细分的极端情况下， 你可以把结果看作 一个被歪向一侧的，连续的棱锥。 无论你把它歪得多厉害， 它都将与最初的棱锥具有相同的体积。 因为它们具有相同的高， 且在任意高度上 具有相同的截面积。 这个原理实际上适用于任意的几何体。 比如这里有两个体积相等的球。 我可以把左边的球一分为二， 挪动它的位置。 显然，我并没有改变它的体积。 我可以切更多层， 这显然仍旧不改变它的体积。 这符合祖暅原理， 因为它们具有相同的高， 且在任意相同的高度上， 具有相等的截面积。 所以虽然在我做了切割与挪动之后， 这个几何体看上去 与原本的形状很不一样， 但由于两者具有相同的高， 以及对应高度上相等的截面积， 所以两者具有相同的体积。 这是一个很有用的原理。 希望这个视频不仅让你知道了这个原理， 同时也能让你获得一点 关于它为何正确的感性认识。