计算棱锥的体积

在这个视频中 我们将讨论金字塔的体积 你们中的许多人可能 已经熟悉了金字塔体积的公式 但这个视频的目的 是给我们一个直观的认识 或者给我们一些论证为什么这是金字塔体积的公式 我们先画一个金字塔 我画一个底边是矩形的 但这取决于我们如何看待公式 我们可以有一个更通用的版本 金字塔是这样的 你可能会对金字塔的体积公式 有个大概的了解 如果我们说这个维度是x 这个维度 这个长度是y 然后是金字塔的高度 如果从中心到顶端 或者如果你要测量这段距离 即金字塔的高度是多少 我们称它为z 你可能会说 这是三维空间 也许我应该把三维空间相乘 这样就可以用单位表示体积了 但是如果你用xy乘以z 这就得到了包含金字塔的 整个矩形棱镜的体积 这就得到了这个物体的体积 它显然更大 比金字塔本身的体积更大 金字塔完全包含在里面 这是金字塔表面的顶端 就是这样 所以你可能会有一种感觉 也许金字塔的体积等于x乘以y乘以z 乘以某个常数 这一节我们要讨论的是 这个常数应该是多少 假设这一点 体积的参数大致是结构的 为了帮助我们 我们画一个大一点的直角棱镜 把它分成六座金字塔 它们完全组成了直角棱镜的体积 首先，我们想象一个金字塔看起来像这样 它的宽度是x 它的深度是y，所以这是它的底 它的高度是直角棱镜的一半 所以直角棱镜的高度是z 金字塔的高度是z/2 根据我们刚才看到的 金字塔的体积是多少? 这个值等于某个常数k乘以x， 乘以y，不是乘以z 乘以金字塔的高度，乘以z / 2 所以是x乘以y乘以z除以2 我就写成z除以2 或者我们可以这样写xy等于z除以2 现在我可以构建 另一个相同尺寸的金字塔 如果我把现存的金字塔倒过来 看起来像这样 这个金字塔的尺寸也是x宽 y深和z/2高 所以它的体积也是这个 那么这两个金字塔的总体积是多少呢? 就是这个乘以2 这些金字塔的总体积 我这样画 这两个金字塔看起来是这样的 我试着用颜色区分一下 我们有两个 所以是它们体积的两倍 等于2乘以这个 等于k乘以xyz Kxy和z 我们还有更多的金字塔要处理 我有一个金字塔，在这里 这个面是它的底 然后如果我画一个金字塔 它看起来是这样的 这里的这个 现在它的体积是多少? 它的体积等于k乘以底是y乘以z 所以是kyz 它的高度是多少? 它的高是x的一半 所以这个高度是x的一半 所以是k乘以y乘以z乘以x除以2 或者可以说乘以x然后所有的都除以2 现在我有另一个 相同尺寸的金字塔 这边的这个 如果我试着把它画在另一个面上 与我们刚才看到的那个面相反 如果我们把这个面翻转过来 它们的尺寸是完全相同的 一种思考方法是 我们有两个 这样的金字塔 这是针对 任意矩形棱镜的 我有两个这样的 所以如果你有它们的两个体积 它会是什么 它等于2乘以这个表达式 所以它等于k乘以xyz xyz，真有趣 最后但同样重要的是我们还有两座金字塔 这是一个，它的底在这里 这是它的底 如果它是透明的 你就能看到我在这里画的地方 然后在另一边有一个 就在那边，在另一边 就好像你要把这事反过来一样 同理可得 我把它画出来 所以我们有两个这样的 两个这样的金字塔我尽量画出来所以乘以2 所以每一个的体积是多少? 它们的底都是x乘以z 所以它等于k乘以x乘以z 这是它们底的面积 然后它们的高度是多少? 它们的高度都是y/2 乘以y/2，我有两个这样的金字塔 所以我要把它们乘以2 2消掉了，只剩下k乘以xyz k乘以xyz 我们偶然发现的 一件有趣的事情 尽管这些金字塔的尺寸不同 看起来也不同 它们都有相同的体积 这本身就很有趣 如果我们 把所有金字塔的体积 加起来用这个公式来表示 如果我把所有金字塔的体积加起来 应该等于整个直角棱镜的体积 然后也许我们可以算出k 所以整个直角棱镜的体积是xyz X乘以y乘以z 然后它要等于这些的和 所以它等于kxyz加kxyz加kxyz 或者你可以说 它等于3kxyz 我所做的就是 把所有这些金字塔的体积加起来 那么k是多少呢? 我们可以两边除以3xyz 来解出k 3xyz 3 (xyz)在右边剩下所有的都消掉了 只剩下k 左边剩下1/3 得到k等于1/3 k等于1/3 这就是为什么金字塔的体积 是1/3乘以底的尺寸 再乘以高 所以你可以这样写 或者你可以把它写成1/3乘以底 所以如果x乘以y是底 那么底的面积 底的面积乘以高，在这种情况下是z， 但如果用h表示 你可能会看到金字塔的公式 也是这样写的 但它们是相等的 这就是为什么你应该对1/3的部分感觉良好