计算圆锥的体积

这里有两个 不同的三维图形 左边有一个金字塔 右边这里有一个锥体 我们对这两个图像有一些了解 首先，它们高度相同 所以这个高度是h 这条边的长度 从顶点到底的中心 也是h 我们也知道底边的面积是相等的 例如，在左边的金字塔 底的面积是x乘以 我们假设它是一个正方形 x乘以x 所以这里的面积等于x方 底的面积， 所以底的面积等于x方 这个底的面积 等于π乘以r方 我是说这两个是相同的 我们也知道x方等于πr方 那我的问题是这两个图形的体积是一样的 还是不同的? 如果它们不一样，哪个体积更大? 暂停视频，试着思考一下 好了，我们一起来 现在，考虑到我们讨论的两个图形 有相同的高度 至少底面的面积是相同的 你可能会认为卡瓦列里的原理可能有用 这是对它的一个提醒 卡瓦列里原理告诉我们，如果你有两个图形 我们考虑的是三维空间 卡瓦列里原理的三维版本 如果你有两个高度相同的图形 在这个高度上的任意一点 横截面积是相同的 那么这两个图形就有相同的体积 所以我们要做的是算出 在这个高度的任意一点 这些图形的横截面积是否相等? 想想看 沿着这个高度任意取一点 为了简单起见 我们选择高度的一半 虽然我们可以在高度上的任何一点 做这个分析 所以沿着高度的一半 沿着高度的一半 所以这段距离 也就是h / 2 这段距离是h / 2 这整个是h 我们可以做的是 构造类似的三角形 我们甚至可以证明 它们是相似三角形 我把它们写在这里 我们知道它们相似的原因 是这条线平行于这条线这条线平行于这条线 和这个半径 我们怎么知道的? 我们取的是 平行于底的横截面积 平行于 它所在的表面 所以无论哪种情况 这些横截面是平行的 所以这些线，在这些横截面上或者在基座上 在横截面上 也必须是平行的 因为它们是平行线 这个角和那个角相等 这个角和这个角相等 因为这些是平行线的截线 它们是同位角 当然，它们共有这个角 这里，你可以很清楚地看到直角，直角 这个角和那个角相等 然后两个三角形共享这个 所以在这两种情况下 小三角形都和大三角形相似 这能帮助我们意识到 对应边的比值是相等的 所以如果这条边是h / 2 整个高是h 这是整个高度的一半 这告诉我们这条边是r的一半 所以这里是r / 2 这一边，通过同样的论证 等于x / 2 那么这里的横截面积是多少? 它等于x / 2 ^ 2 所以它等于x / 2 ^ 2 等于x方除以4 也就是底面积的1/4 等于底面积的1/4 那么这里呢? 这个截面积等于 π 乘以r / 2的平方 也就是πr方除以4 或者可以说这是1/4 πr方 等于底面积的1/4 底的面积是πr的平方 现在我们说1/4 πr方 所以这等于面积的1/4 我们已经说过这些区域是相同的 我们已经知道 这一点的横截面积 这两个图形的高度是相同的 你可以沿着高做1/4 沿着高做3/4 你会得到完全相同的分析结果 你会有两个相似的三角形 你会发现你们有相同的面积 相同的横截面积在高度的那一点 因此，根据卡瓦列里的原理， 在三维空间中 这两个图形的体积是相同的 有趣的是 它允许我们使用公式， 我们在其他视频中已经证明过 并得到了关于金字塔体积的直观认识 我们知道金字塔的体积 等于1/3乘以底乘以高 然后说，这个一定有相同的体积 它也一定等于1/3 乘以底的面积乘以高 因为在这两种情况下 底的面积是相等的 高度是一样的 我们知道它们的体积相同