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课程: 高中几何 > 单元 1

课程 5: 反射

反射形状

Google课堂

了解如何求出给定反射的图像。

在这篇文章中，我们将要找一找不同形状的各种对称图像。

对称轴

对称是一种类似镜像的图形变换：所有点都变换到对称轴的完全相反的一侧的位置。

对称轴可以由一个方程式表示，或者由其经过的两个点确定。

第一部分：对称点

让我们来学一个关于水平直线对称的例子。

我们被要求找到

A (- 6, 7)

关于轴

y = 4

对称的点

A^{'}

。

解题

第一步：从点

A

画一条垂直于对称轴的线，并测量距离。

因为对称轴呈完美水平，它的垂线则呈完美竖直。

第二步：沿垂线的方向继续延长垂线至相同的距离。

答案： 点

A^{'}

为

(- 6, 1)

。

轮到你啦！

练习题

画出点 $B (7, - 4)$ ‍关于对称轴 $x = 2$ ‍对称的图像。

挑战题

点 $(- 25, - 33)$ ‍关于对称轴 $y = 0$ ‍对称的图像是什么样的？

(

,

)

让我们来学一个关于对角线对称的例子。

我们被要求找到

C (- 2, 9)

关于轴

y = 1 - x

对称的点

C^{'}

。

解题

第一步：从点

C

画一条垂直于对称轴的线，并测量距离。

由于对称轴正好穿过单位正方形的对角线，因此垂直于它的线也正好穿过单位正方形的另一条对角线。换句话说，斜率为 $1$ ‍和 $-1$ ‍的直线互相垂直。

方便起见，让我们测量在”对角线“中的距离。

第二步：沿垂线的方向继续延长垂线至相同的距离。

答案： 点

C^{'}

为

(- 8, 3)

。

轮到你啦！

练习题

画出点 $D (3, - 5)$ ‍关于对称轴 $y = x + 2$ ‍对称的图像。

挑战题

点 $(- 12, 12)$ ‍关于对称轴 $y = x$ ‍对称的图像是什么样的？

(

,

)

对称轴与

y = x

重合，其斜率为

1

，因此它的垂线的斜率应该为

- 1

。由于垂线穿过

(- 12, 12)

，因此对应的方程式为

y = - x

。

因此要找到对称图像

(- 12, 12)

，我们应该沿着

y = - x

直到我们到了其与

y = x

相交的点，然后再前进相同的距离直到对称点。

直线

y = x

和

y = - x

相较于原点

(0, 0)

，原点相距

(- 12, 12)

有

12

格对角线的距离。因此，对称图像则是朝另一个方向距离原点

12

格对角线之远，其为点 $(12, - 12)$ ‍。

第二部分：对称多边形

让我们来学习一个例子。

想一想下图中的长方形

E F G H

。让我们画出它关于直线

y = x - 5

的对称图像

E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}

。

解题

当我们想要画多边形的对称图案是，我们需要做的只是对称它所有的顶点（这个和我们平移或旋转多边形是类似的）。

这里是各个顶点的起始位置以及他们的对称图像。注意看，

E

、

F

以及

H

则像

G

一样在对称轴的另一侧。这个和他们的对称图像是一样的，只是换了一边而已！

现在我们只要连接各顶点。

轮到你啦！

问题 1

画线段 $\overset{―}{I J}$ ‍和 $\overset{―}{K L}$ ‍关于 $y = - 3$ ‍的对称图像。

问题 2

画出点 $△ M N O$ ‍关于对称轴 $y = - 1 - x$ ‍对称的图像。

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